لکیری آزادی

اصطلاح	term
دالہ متغیر لکیری آزادی تولیف لکیری منحصر قطار ستون لکیری تولیف سمتیہ پلٹ	Function Variable Linear Independence Combination Linearly Dependent Row Column Linear Combination Vector Transpose

ایک متغیر $\ t$ کے دالہ کو ہم $\ f(t)$ لکھتے ہیں۔ اگر ایسے دائم اعداد $\ a, \, b$ ہوں، جن کی مدد سے دالہ $\ f(t)$ کو دوسرے دالہ $\ g(t), h(t)$ کے لکیری (راست) تولیف کے طور پر لکھا جا سکے

$\ f(t)=a \, g(t) + b \, h(t)$

تو دالہ $\ f(t)$ کو باقی دالہ $\ g(t), \, h(t)$ پر لکیری منحصر (آزاد نہیں) کہا جاتا ہے۔ اگر دالہ $\ f(t)$ کو اس صورت میں نہ لکھا جا سکے، تو دالہ $\ f(t)$ کو باقی دالہ $\ g(t), \, h(t)$ سے "لکیری آزاد" کہا جائے گا۔

اگر دالہ $\ \{f_n(t)\}, n=0,1,\cdots$ میں سے کسی بھی دالہ کو باقی ماندہ دالہ کے راست تولیف (جوڑ) کے طور پر نہ لکھا جا سکتا ہو، تو ان دالہ کو باہمی لکیری آزاد کہا جائے گا۔

سمتیہ کی لکیری آزادی [ترمیم]

سمتیہ مجموعہ $v_0, v_1, ..., v_{n-1}$ کے لکیری تولیف کی اس مساوات

$\alpha_0 v_0 + \alpha_1 v_1+... + \alpha_{n-1} v_{n-1} = \mathbf{0}$

کا ایک حل یہ ہے

$\alpha_0 =0, \, \alpha_1 =0, ..., \alpha_{n-1} =0$

اگر یہی واحد ممکن حل ہو تو سمتیہ مجموعہ لکیری آزاد کہلائے گا۔ اگر اس کے علاوہ بھی کوئی حل ممکن ہو تو سمتیہ مجموعہ لکیری غیر آزاد ہو گا۔ غیر آزادی کی صورت میں ان میں سے کسی بھی سمتیہ کو باقی ماندہ سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر لکھنا ممکن ہو جائے گا۔

میٹرکس کی قطاریں اور ستون [ترمیم]

یہی اصول کسی میٹرکس کی قطاروں (اور ستونوں) پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ اگر کسی میڑکس کی کوئی قطار باقی ماندہ قطاروں کے لکیری تولیف پر لکھی جا سکے تو یہ قطار باقی قطاروں پر لکیری منحصر ہو گی (بدیگر "لکیری آزاد" کہلائے گی)۔ اگر کسی میٹرکس کی کوئی بھی قطار باقی ماندہ قطاروں سے لکیری تولیف کے ذریعہ حاصل نہ کی جا سکتی ہو، تو قطاروں کو باہمی لکیری آزاد کہا جائے گا۔

میٹرکس A کے تمام ستونوں کے باہمی لکیری آزاد ہونے کے لیے لازمی ہے کہ مساوات $AX=0$ کا واحد ممکن حل $X=0$ ہو۔ یعنی