استیفاء

اصطلاح	term
استیفاء متفرد طاقم حیطہ معطیات تعمیر	interpolation discrete set range data construct

ریاضیات کے ذیلی شعبہ عددی تحلیل میں استیفاء ایسے طریقہ کو کہتے ہیں جس سے معلوم معطیات نقاط کے متفرد طاقم کے حیطہ میں نئے معطیات نقاط تعمیر کیے جا سکیں۔

ہندسہ اور سائنس میں اکثر ہمارے پاس معطیات ہوتے ہیں، جیسا کہ نمونہ گیری یا تجربی کے ذریعہ، اور ہم ایک دالہ تخلیق دینا چاہتے ہیں جو ان معطیات نقاط کے قریب ترین ہو۔ اسے منحنی بیٹھا یا مراجعت تحلیل کہتے ہیں۔ استیفاء خاص قسم ہے منحنی بٹھا کی کہ اس میں ضروری ہے کہ دالہ بعینہ معطیات نقاط میں سے گزرے۔

An interpolation of a finite set of points on an epitrochoid. Points through which curve is splined are red; the blue curve connecting them is interpolation.

مثال

فرض کرو کہ ہمارے پاس اسطرح کا ایک جدول ہے جس میں کسی نامعلوم دالہ fکی کچھ اقدار دی ہیں

x	f(x)
0	0
1	0.8415
2	0.9093
3	0.1411
4	-0.7568
5	-0.9589
6	-0.2794

Plot of the data points as given in the table.

استیفاء کے زریعہ ہم درمیانی نقاط، جیسا کہ x = 2.5 ،پر دالہ کی قدر معلوم کر سکتے ہیں۔

استیفاء کے بیشتر طریقے ہیں، جن میں سے کچھ نیچے بیان ہوئے ہیں۔ استیفاء کا الخوارزم چنتے ہوئے کچھ فِکر یہ ہوتے ہیں: طریقہ کی درستگی کتنی ہے؟ کتنا مہنگا ہے؟ استیفائی کتنا ہموار ہے؟ کتنے معطیاتی نقاط کی ضرورت ہے؟

اصطلاح	term
پارچہ روش دائم استیفائیا کترن	piecewise constant interpolant interpolation

پارچہ روش دائم استیفاء

Piecewise constant interpolation, or nearest-neighbor interpolation.

سانچہ:Details استیفاء کا سادہ ترین طریقہ یہ ہے کہ قریب ترین معطیات-نقطہ تعین کیا جائے اور اسی کی قدر تفویض کر دی جائے۔ یک بُعد میں اس طریقہ کو لکیری استیفاء پر فوقیت دینے کی شاز ہی کوئی وجہ ہوتی ہے، جو کہ قریباً اتنی ہی سستی پڑتی ہے، مگر بالا بُعد میں متعدد متغیر استیفاء یہ طریقہ اپنی تیزی اور سادگی کے باعث پسند کیا جا سکتا ہے۔

لکیری استیفاء

Plot of the data with linear interpolation superimposed

ایک سادہ ترین طریقہ لکیری استیفا ہے۔ اوپر کی مثال میں f(2.5) کو جبری کرنے کا دیکھو۔ چونکہ 2 اور 3 کے وسط میں 2.5 ہے، اسلئے f(2) = 0.9093 اور f(3) = 0.1411 کے وسط میں f(2.5) لیا جا سکتا ہے، جس سے 0.5252 ملتا ہے۔ جامعاً، دو معطیاتی نقاط (xa,ya) اور (xb,yb) لیے جاتے ہیں، اور ان کے درمیان نقطہ (x,y) پر استیفائیا یوں نکالا جاتا ہے:

$y = y_a + (y_b-y_a)\frac{(x-x_a)}{(x_b-x_a)}$

لکیری استیفا سادہ اور تیز ہے، مگر درستگی زیادہ نہیں ہوتی۔ ایک اور نافائدہ یہ ہے کہ معطیاتی نقاط xk پر استیفائیا تفرقی نہیں ہوتا۔

کثیر رقمی استیفاء

Plot of the data with polynomial interpolation applied

لکیری استیفاء کی جامع صورت کثیر رقمی استیفاء ہے۔ غور کرو کہ لکیری استیفائیا ایک لکیری دالہ ہے۔ اب ہم اس استیفائیا کو بالا درجہ کے کثیر رقمی سے بدل دیتے ہیں۔

اوپر والا مسئلہ کو دوبارہ دیکھتے ہیں۔ درج ذیل درجہ چھ کا کثیر رقمی تمام سات نقاط میں سے گزرتا ہے:

$f(x) = -0.0001521 x^6 - 0.003130 x^5 + 0.07321 x^4 - 0.3577 x^3 + 0.2255 x^2 + 0.9038 x.$

متغیر x کو x = 2.5 رکھ کر ہمیں f(2.5) = 0.5965 ملتا ہے۔

جامعاً، اگر ہمارے پاس n نقاط ہوں، تو صرف ایک ایسا کثیر رقمی ہے جس کا درجہ زیادہ سے زیادہ n−1 ہے اور وہ تمام نقاط سے گزرے ہے۔ استیفائی غلطی متناسب ہے نقاط کے درمیان فاصلے کی n-ویں طاقت کے۔ چونکہ استیفائیا کثیر رقمی ہے اس لیے لامتناہی تفرقی ہے۔ اسطرح کثیر رقمی استیفاء سارے مسائل حل کر دیتا ہے لکیری استیفا کے۔

البتہ، کثیر رقمی استیفاء میں قباحت یہ ہے کہ تمام معطیاتی نقاط کو استعمال کر کے کثیر رقمی جبر کرنا ہوتا ہے جو مہنگا پڑتا ہے۔

کترن استیفاء

Plot of the data with spline interpolation applied

یار کرو کہ لکیری استیفاء ہر وقفہ [xk,xk+1] (دو نقاط کے درمیان) لکیری دالہ استعمال کرے ہے۔ کترن استیفا طریقہ ہر وقفہ پر نچلے درجہ کا کثیر رقمی استعمال کرتا ہے، اور کثیر رقمی ٹکرے یوں چنتا ہے کہ یہ ہموار آپس میں جڑتے ہیں۔ اس نتیجہ دالہ کو کترن کہتے ہیں۔

مثال کے طور پر، قدرتی کعبی کترن پارچہ-روش کعبی ہوتی ہے اور دو دفعہ استمری تفرقی ہوتی ہے۔ مزید، تفرقیِ دوم کونوں پر صفر ہوتا ہے۔ اوپر والے مسئلہ (جدول) میں کعبی کترن استیفاء یوں دیا جائے گا:

$f(x) = \begin{cases} -0.1522 x^3 + 0.9937 x, & \mbox{if } x \in [0,1], \\ -0.01258 x^3 - 0.4189 x^2 + 1.4126 x - 0.1396, & \text{if } x \in [1,2], \\ 0.1403 x^3 - 1.3359 x^2 + 3.2467 x - 1.3623, & \text{if } x \in [2,3], \\ 0.1579 x^3 - 1.4945 x^2 + 3.7225 x - 1.8381, & \text{if } x \in [3,4], \\ 0.05375 x^3 -0.2450 x^2 - 1.2756 x + 4.8259, & \text{if } x \in [4,5], \\ -0.1871 x^3 + 3.3673 x^2 - 19.3370 x + 34.9282, & \text{if } x \in [5,6]. \\ \end{cases}$

اس میں ہمیں f(2.5) = 0.5972 ملتا ہے