معیاری انحراف

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

معیاری انحراف
اقدار
توزیع
دالہ
کمیت
دو رقمی
متوقع قدر
تَفاوُت

standard deviation
values
distribution
function
mass
binomial
expected value
variance

تصادفی متغیر (یا اس کی توزیعِ احتمال) کا اپنی متوقع قدر (اوسط) سے ممکنہ انحراف کی مقدار کو ناپنے کے لیے، تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" استعمال ہوتا ہے۔ اسے عموماً \sigma کی علامت سے لکھا جاتا ہے اور یہ تفاوت کا مربع جزر ہوتا ہے۔

تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" \sigma ناپ ہے تصادفی متغیر کی اقدار (نیلا رنگ میں) کا اپنے اوسط \mu کے گرد پھیلاؤ کا۔

اگر تصادفی متغیر X کی متوقع قدر کو

\ \mu = E(X)

لکھا جائے، تو X کا "معیاری انحراف" \sigma یوں تعریف کیا جاتا ہے

\ \sigma = \sqrt{E\left((X-\mu)^2\right)}

یعنی \sigma^2 ہے تصادفی متغیر X کی اوسط \mu سے دوری x-\mu کے مربع \ (x-\mu)^2 کی اوسط ۔ واپس X کی اکائی میں آنے کے لیے ہم \sigma^2 کا مربع جزر لے کر معیاری انحراف \sigma حاصل کرتے ہیں۔

غور کرو کہ تفاوت \sigma^2 کو یوں لکھ سکتے ہیں

\ \sigma^2 = E\left((X-\mu)^2\right)
= E(X^2) - \mu^2

جہاں متفرد تصادفی متغیر کے لیے \ E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_X(x_i) غور کرو کہ \ E(X^2) متغیر \ x^2 کی وزن شدہ اوسط ہے، جہاں وزن تصادفی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ \ p_X(.) سے کیا گیا ہے۔ متفرد تصادفی متغیر X کی "احتمال کمیت دالہ" \ p_X(x) اس متغیر کی قدر x ہونے کے احتمال کو کہتے ہیں، اور یوں تعریف کرتے ہیں:

\ p_X(x_i) = \Pr(X=x_i)
تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت دالہ \ p_X(.)

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا تفاوت

\ \sigma^2 = np(1-p)

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق تَفاوُت \ \sigma^2=np(1-p)=40 \times 0.5 \times (1-.5) = 10 اور معیاری انحراف \ \sigma = 10^{\frac{1}{2}} \approx 3.16

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات