توزیعِ احتمال

اصطلاح	term
تَراكُمی توزیع احتمال	cumulative distribution probability

کسی نمونہ فضا کے ذیلی مجموعات کو احتمال اس طرح سونپا جاتا ہے کہ احتمال کے مسلمات پورے ہوتے ہوں۔ تصادفی متغیر ایک دالہ ہوتا ہے، جو نمونہ فضا کو اصل اعداد میں لے جاتا ہے۔ تصادفی متغیر X کے کسی عدد x سے کم ہونے کے احتمال کو بطور ایک دالہ لکھا جاتا ہے،

$F_X(x) = \Pr(X \le x)$

اور اس دالہ $\ F_X(x)$ کو "تَراكُمی توزیعِ احتمال" کہا جاتا ہے۔ تَراكُمی توزیعِ احتمال مندرجہ ذیل خصوصیات کی حامل ہوتی ہے:

$F_X(x) \ge 0, \forall x$

$F_X(-\infty) = 0$

$F_X(\infty) = 1$

$F_X(x_2) \ge F_X(x_1)\, ,\,\,\, x_2>x_1$

متفرد

متفرد تصافی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ $\ p_X(.)$ کسی بھی عدد x کے لیے یوں تعریف ہوتی ہے

$p_X(x) = \Pr(X=x) = \Pr(\hbox{all } s \in S: X(s)=x)$

یعنی $\ p_X(x)$ اس احتمال کے برابر ہے کہ تصادفی متغیر X کی قدر x بنے۔ یہاں S نمونہ فضا ہے، جو تصادفی متغیر X کا ساحہ ہے۔ غور کرو کہ

$p_X(x) \ge 0$

$p_X(x) \le 1$

$\ \sum_{x}p_X(x) = 1$

اب متفرد تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ یوں تعریف ہو گی

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \sum_{x: X(s) \le x}p(x)$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x کے برابر یا اس سے کم ہو۔ غور کرو کہ

$F_X(x) \ge 0, \forall x$

$F_X(-\infty) = 0$

$F_X(\infty) = 1$

متفرد تصادفی متغیر X کے لیے اس کے "احتمال کمیت دالہ" $\ p_X(x)$، اور "تَراكُمی توزیع احتمال دالہ" $\ F_X(x)$، دونوں کو "توزیعِ احتمال" پکارا جاتا ہے۔

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت دالہ $\ p_X(.)$

تصویر 3: دو رقمی توزیع کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ $\ F_X(.)$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال

تفصیلی مضمون: دو رقمی توزیع احتمال

بعض اوقات ایک ہی تجربہ کو متعدد بار دہرایا جاتا ہے (جیسے سکے کو بار بار فضا میں اچھالا جائے)۔ ایسے بار بار آزمائش میں فرض کرو کہ:

• دو ممکنہ نتائج ہیں، "کامیابی" اور "ناکامی"
• ہر آزمائش پر "کامیابی" کا احتمال p ہے، اور "ناکامی" کا احتمال $\ 1-p$
• آزمائش کی تعداد n ہے
• ہر آزمائش دوسری آزمائشوں سے آزاد ہے

فرض کرو کہ تصادفی متغیر X ہے، جو ان n آزمائشوں میں "کامیابی" کی تعداد ظاہر کرتا ہے۔ اس متفرد تصادفی متغیر کا حیطہ

$\{0,1,2,\cdots, n\}$

ہے، اور توزیعِ احتمال

$p_X(x) = \frac{n!}{x! (n-x)!} p^x (1-p)^{n-x}$

اس توزیع احتمال کو "دو رقمی توزیع" کے نام سے پکارا جاتا ہے۔ ( یہاں ! کی علامت عامِلیہ کو ظاہر کرتی ہے۔)

متواصل

متواصل تصافی متغیر X کی احتمال کثافت دالہ $\ f_X(.)$ کی مدد سے تصادفی متغیر X کی قدر وقفہ $\ (a,b)$ میں ہونے کا احتمال یوں لکھا جا سکتا ہے:

$\Pr(a < X \le b) = \int_{a}^b f_X(x) dx$

یعنی یہ احتمال دالہ $\ f_X(x)$ کے نیچے a سے b تک رقبہ کے برابر ہے۔ "احتمال کثافت دالہ" مندرجہ ذیل خصوصیات کی حامل ہوتی ہے:

$f_X(x) \ge 0$

$\ \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x) dx = 1$

اب متواصل تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ یوں تعریف ہو گی

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(x) dx$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x سے کم ہو۔ غور کرو کہ

$F_X(x) \ge 0, \forall x$

$F_X(-\infty) = 0$

$F_X(\infty) = 1$

$F_X(x_2) \ge F_X(x_1) \,,\,\,\,\, x_2 > x_1$

ان تعاریف سے پتہ چلتا ہے کہ

$\Pr(a < X \le b) = \Pr(X \le b) - \Pr(X \le a)$

$\Pr(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_{a}^b f_X(x) dx$

مثال

گاسین توزیع احتمال کی "احتمال کثافت دالہ"۔ سبز رنگ میں معیاری گاسین توزیع احتمال ہے۔

گاسین توزیع احتمال کی "تراکمی توزیع دالہ"۔ رنگ اوپر والی تصویر کے موافق ہیں۔

سب سے مشہور متواصل توزیع احتمال، گاسین توزیع احتمال ہے، جس کی "احتمال کثافت دالہ" تصادفی متغیر X کے لیے یوں لکھی جاتی ہے

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$

جبکہ اس کی متوقع قدر

$\ \mu = E(X)$

اور تفاوت

$\ \sigma^2 = Var(X)$

ہیں۔ معیاری گاسین "احتمال کثافت دالہ" (سبز) کے لیے $\mu=0$ اور $\sigma^2=1$

اور دیکھو

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات