احصائی آزادی

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

آزاد واقعات
آزاد تصادفی متغیر
احصائی آزادی

independent events
independent random variables
statistical independence

اگر کسی واقعہ A کا احتمال، بعد ازاں یہ معلوم ہونے کے کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، سے تبدیل نہ ہوتا ہو، تو واقعات A اور B کو آزاد کہتے ہیں۔ یعنی "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" برابر ہو واقعہ A کے احتمال کے:

 \Pr(A|B) = \Pr(A)

واضح رہے کہ یہ تعریف متناظر ہے، کیونکہ مشروط احتمال کی تعریف استعمال کرتے ہوئے

 \Pr(B|A) = \frac{\Pr(B \cap A)}{\Pr(A)} = \frac{\Pr(A|B) \Pr(B)}{\Pr(A)}

ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ:

 \Pr(B|A) = \Pr(B)

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

واقعات A اور B آزاد ہونگے، اگر بشرطِ اگر

\ \Pr(A \cap B) = \Pr(A) \Pr(B)

مثال 1[ترمیم]

اگر طاس کو دو بار پھینکا جائے، تو ظاہر ہے دونوں "پھینک" ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ اس تجربہ کی نمونہ فضا

\ S = \{1,2,3,4,5,6\} \times \{1,2,3,4,5,6\}

ہے۔ اب اس واقعہ کہ "پہلا پھینک 3 ہے، اور دوسرا پھینک 4 ہے" کا احتمال، واقعہ "پہلا پھینک 3 ہے" اور واقعہ "دوسرا پھینک 4 ہے" کے احتمال کے ضرب سے معلوم ہو گا:

 \begin{matrix}
 \Pr(\hbox{first throw is 3, second throw is 4})  = \\
 \Pr(\hbox{first throw is 3})  \times \Pr(\hbox{second throw is 4})  \\
 = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}
\end{matrix}

مثال 2[ترمیم]

اگر طاس کو ایک بار پھینکا جائے، اور واقعہ A ہو کہ طرف (نتیجہ) طاق عدد ہے، یعنی 1 یا 3 یا 5 ہے،

 A = \{1, 3, 5\}, \, \Pr(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

اور واقعہ B یہ ہو کہ طرف (نتیجہ) 1 یا 2 یا 4 یا 5 ہے،

 B = \{1, 2, 4, 5\}, \, \Pr(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

اب اگر یہ معلوم ہو کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، تو "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" یہ ہو گا

 \Pr(A|B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \Pr(A)

اس سے ثابت ہؤا کہ واقعات A اور B آزاد ہیں۔

باہمی ناشمول واقعات[ترمیم]

باہمی ناشمول واقعات کبھی آزاد نہیں ہو سکتے، کیونکہ ایک واقعہ کے رونما سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ دوسرا ناممکن ہو گیا۔

دو سے زیادہ واقعات کی آزادی[ترمیم]

تعریف: واقعات \ A_1, A_2, \cdots A_n کو باہمی آزاد کہا جائے گا، اگر کس بھی \ m=2,3, \cdots, n کے لیے، اور \ \{1,2,3, \cdots, n\} کے کسی بھی ذیلی مجموعہ \ i_1, i_2, i_3, \cdots, i_m کے لیے یہ سچ ہو کہ:

\ \Pr\left(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots  \cap A_{i_m}\right) = \Pr(A_{i_1})  \Pr(A_{i_2})
\cdots \Pr(A_{i_m})

دوسرے الفاظ میں \ A_1, A_2, \cdots A_n کے کسی بھی ذیلی مجموعہ کے تقاطع کا احتمال برابر ہو ہر نفس احتمال وں کی ضرب کے۔ یاد رہے کہ ہر دو واقعات کے جوڑے کی آزادی،

\ \Pr(A_i \cap A_j) = \Pr(A_i ) \Pr(A_j)

سے n واقعات کی آزادی مقتض نہیں ہوتی۔

آزاد تصادفی متغیر[ترمیم]

تصادفی متغیر باہمی آزاد ہوں گے اگر ان سے جنم لینے والے واقعات باہمی آزاد ہوں۔ دو تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد قرار دیا جائے گا بشرطیکہ

 \Pr(X \le x, Y \le y) = \Pr(X \le x) \Pr(Y \le y)

کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں احتمال  \Pr(X \le x, Y \le y) سے مراد واقعات  \{X \le x \} اور  \{ Y \le y \} دونوں کے وقوع پذیر ہونے کا احتمال ہے۔ غور کرو کے واقعات

 A=\{X \le x\} \,\,,\, B=\{Y \le y\}

کی آزادی سے معلوم ہو گا کہ

 \Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)

جو بعینہ اوپر دی تصادفی متغیر کی آزادی کی تعریف ہے۔

متفرد[ترمیم]

متفرد تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد کہیں گے اگر

 \Pr(X = x, Y = y) = \Pr(X = x) \Pr(Y = y)

کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں واقعہ \{X=x, Y=y\} سے مراد واقعات

\ A=\{X=x\} اور \ B=\{Y=y\}

کا تقاطع ہے، یعنی

\ \{X=x, Y=y\} = A \cap B


دالہ[ترمیم]

آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی دالہ سے بننے والے تصادفی متغیر \ Z=f(X) اور \ W=g(X) بھی آزاد ہونگے۔

متوقع قدر[ترمیم]

آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی ضرب سے بننے والے تصادفی متغیر Z=XY کی متوقع قدر X اور Y کی متوقع قدر کے حاصل ضرب ہوتی ہے

\ E(Z) = E(XY) = E(X) \times E(Y)

بشرطیکہ X اور Y کی متوقع قدر موجود ہو۔

تفاوت[ترمیم]

آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی جمع سے بننے والے تصادفی متغیر Z=X+Y کی تفاوت (variance)، تصادفی متغیر X اور Y کی تفاوت کی جمع ہوتی ہے

\ \hbox{Var}(Z) = \hbox{Var}(X+Y) = \hbox{Var}(X) + \hbox{Var}(Y)

n تصادفی متغیر کی آزادی[ترمیم]

n تصادفی متغیروں X_1, X_2, \cdots, X_n کو باہمی آزاد کہا جائے گا اگر ان میں سے ہر دو تصادفی متغیر

X_i, X_j \,,\, i,j\in \{1,2,\cdots,n\}

آزاد ہوں۔


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات