احصائی آزادی

وکیپیڈیا سے

اصطلاح	term
آزاد واقعات آزاد تصادفی متغیر احصائی آزادی	independent events independent random variables statistical independence

اگر کسی واقعہ A کا احتمال، بعد ازاں یہ معلوم ہونے کے کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، سے تبدیل نہ ہوتا ہو، تو واقعات A اور B کو آزاد کہتے ہیں۔ یعنی "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" برابر ہو واقعہ A کے احتمال کے:

$\Pr(A|B) = \Pr(A)$

واضح رہے کہ یہ تعریف متناظر ہے، کیونکہ مشروط احتمال کی تعریف استعمال کرتے ہوئے

$\Pr(B|A) = \frac{\Pr(B \cap A)}{\Pr(A)} = \frac{\Pr(A|B) \Pr(B)}{\Pr(A)}$

ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ:

$\Pr(B|A) = \Pr(B)$

[ترمیم] مسلئہ اثباتی

واقعات A اور B آزاد ہونگے، اگر بشرطِ اگر

$\ \Pr(A \cap B) = \Pr(A) \Pr(B)$

[ترمیم] مثال 1

اگر طاس کو دو بار پھینکا جائے، تو ظاہر ہے دونوں "پھینک" ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ اس تجربہ کی نمونہ فضا

$\ S = \{1,2,3,4,5,6\} \times \{1,2,3,4,5,6\}$

ہے۔ اب اس واقعہ کہ "پہلا پھینک 3 ہے، اور دوسرا پھینک 4 ہے" کا احتمال، واقعہ "پہلا پھینک 3 ہے" اور واقعہ "دوسرا پھینک 4 ہے" کے احتمال کے ضرب سے معلوم ہو گا:

$\begin{matrix} \Pr(\hbox{first throw is 3, second throw is 4}) = \\ \Pr(\hbox{first throw is 3}) \times \Pr(\hbox{second throw is 4}) \\ = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \end{matrix}$

[ترمیم] مثال 2

اگر طاس کو ایک بار پھینکا جائے، اور واقعہ A ہو کہ طرف (نتیجہ) طاق عدد ہے، یعنی 1 یا 3 یا 5 ہے،

$A = \{1, 3, 5\}, \, \Pr(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

اور واقعہ B یہ ہو کہ طرف (نتیجہ) 1 یا 2 یا 4 یا 5 ہے،

$B = \{1, 2, 4, 5\}, \, \Pr(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

اب اگر یہ معلوم ہو کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، تو "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" یہ ہو گا

$\Pr(A|B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \Pr(A)$

اس سے ثابت ہؤا کہ واقعات A اور B آزاد ہیں۔

[ترمیم] باہمی ناشمول واقعات

باہمی ناشمول واقعات کبھی آزاد نہیں ہو سکتے، کیونکہ ایک واقعہ کے رونما سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ دوسرا ناممکن ہو گیا۔

[ترمیم] دو سے زیادہ واقعات کی آزادی

تعریف: واقعات $\ A_1, A_2, \cdots A_n$ کو باہمی آزاد کہا جائے گا، اگر کس بھی $\ m=2,3, \cdots, n$ کے لیے، اور $\ \{1,2,3, \cdots, n\}$ کے کسی بھی ذیلی مجموعہ $\ i_1, i_2, i_3, \cdots, i_m$ کے لیے یہ سچ ہو کہ:

$\ \Pr\left(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_m}\right) = \Pr(A_{i_1}) \Pr(A_{i_2}) \cdots \Pr(A_{i_m})$

دوسرے الفاظ میں $\ A_1, A_2, \cdots A_n$ کے کسی بھی ذیلی مجموعہ کے تقاطع کا احتمال برابر ہو ہر نفس احتمال وں کی ضرب کے۔ یاد رہے کہ ہر دو واقعات کے جوڑے کی آزادی،

$\ \Pr(A_i \cap A_j) = \Pr(A_i ) \Pr(A_j)$

سے n واقعات کی آزادی مقتض نہیں ہوتی۔

[ترمیم] آزاد تصادفی متغیر

تصادفی متغیر باہمی آزاد ہوں گے اگر ان سے جنم لینے والے واقعات باہمی آزاد ہوں۔ دو تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد قرار دیا جائے گا بشرطیکہ

$\Pr(X \le x, Y \le y) = \Pr(X \le x) \Pr(Y \le y)$

کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں احتمال $\Pr(X \le x, Y \le y)$ سے مراد واقعات $\{X \le x \}$ اور $\{ Y \le y \}$ دونوں کے وقوع پذیر ہونے کا احتمال ہے۔ غور کرو کے واقعات