جیکبی طریقہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

یہ یکلخت لکیری مساوات کا نظام حل کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ اس کے لیے مساوات کو ایک تفاعل کی صورت لکھا جاتا ہے جس پر مستقل نکتہ کا طریقہ استعمال کیا جاتا ہے۔ یکلخت مساوات کو ہم یوں بطور میٹرکس مساوات لکھتے ہیں:


X = D X + c

جہاں


X = \left[
\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix}
\right]
\,,\,
D = \left[
\begin{matrix}
0  & -\frac{a_{1,2}}{a_{1,1}} & \cdots -\frac{a_{1,n}}{a_{1,1}} \\
-\frac{a_{2,1}}{a_{2,2}} & 0  & -\cdots \frac{a_{2,n}}{a_{2,2}} \\
\vdots                                 &   \ddots   &  \vdots      \\
-\frac{a_{n,1}}{a_{n,n}}  & -\cdots \frac{a_{n,2}}{a_{n,n}} & 0 \\
\end{matrix}
\right]
\,,\,
c = \left[
\begin{matrix}
\frac{b_1}{a_{1,1}} \\
\frac{b_2}{a_{2,2}} \\
\vdots \\
\frac{b_n}{a_{n,n}} \\
\end{matrix}
\right]


اب لکھو

 \ f(X) = D X + c

اب اس مساوات نظام کا X حل اسی وقت ہو گا، اور صرف اسی وقت ہو گا، جب یہ تفاعل  \ f(X) کا مستقل نکتہ ہو۔

شمارندہ (کمپوٹر) پر اسے حل کرنے کا طریقہ یہ ہے کہ ہم کسی بھی \ X_0 سے شروع کر کے یوں چلتے جاتے ہیں:


\begin{matrix}
X_1 = D X_0 + c \\
X_2 = D X_1 + c \\
X_3 = D X_2 + c \\
\vdots
\end{matrix}

جبتک یکے بعد دیگرے \ X_k اور \ X_{k+1} میں فرق بالکل معمولی رہ جائے۔ اگر مساوات کا حل ممکن ہو تو حل \ X متوالیہ \ \{X_k\} کی آخر ہو گا (اگر یہ متوالیہ کسی حد کی طرف جائے) :


X = \lim_{k \to \infty} X_k

یہ ضروری نہیں کہ جیکبی طریقہ کام کرے (متوالیہ کسی طرف مرکوز (converge) ہو تو حل نکل سکتا ہے)۔

مثال[ترمیم]

مساوات کا نظام

\begin{matrix}
- 2.0 x_0 + 1.1 x_1 - 0.2 x_2 &=& -.2 \\
- 2.7 x_0 + 3.0  x_1 + 1.5 x_2 &=& 0.9 \\
-0.3 x_0 + 0.2 x_1 - 1.0 x_2 &=& 0.2 
\end{matrix}

اس کو ہم جیکبی طریقہ کے لیے یوں ڈھال کر لکھتے ہیں:


X^{(k+1)} =
\left[\begin{matrix}
0  & .55  & -.1 \\ 
.9 & 0    &-.5 \\
 -.3 & .2  & 0
\end{matrix}\right] X^{(k)} 
+
\left[\begin{matrix}
0.1 \\ 0.3  \\ -.2
\end{matrix}\right]


اب سب صفر سے شروع کر کے آگے بڑھتے جاتے ہیں: X^{(0)}= \left[\begin{matrix}
0 \\
0 \\
0
\end{matrix}\right]
کچھ پہلی بازیوں کے جواب یہ ہیں:


X^{(1)}= \left[\begin{matrix}
0.1 \\
0.3 \\
-0.2
\end{matrix}\right] 
\,,\,
X^{(2)}= \left[\begin{matrix}
0.285 \\
0.49 \\
-0.17
\end{matrix}\right]
\,,\,
X^{(3)}= \left[\begin{matrix}
0.39 \\
0.64 \\
-0.19
\end{matrix}\right]



X^{(4)}= \left[\begin{matrix}
0.47 \\
0.74 \\
-0.19
\end{matrix}\right] \,,\,
X^{(5)}= \left[\begin{matrix}
0.53 \\
0.82 \\
-0.19
\end{matrix}\right]\,,\,
X^{(6)}= \left[\begin{matrix}
0.56 \\
0.87 \\
-0.19
\end{matrix}\right]

بہت سی بازیوں کے بعد یہ مساوات کا حل حاصل ہوتا ہے:

X= 
\left[\begin{matrix}
x_0 \\
x_1 \\
x_2
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
0.67 \\
1.01 \\
-0.20
\end{matrix}\right]

اور دیکھو[ترمیم]


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات