دترمینان

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

ایک 2\times 2 میٹرکس A = \left[\begin{matrix}a & b \\c & d\end{matrix}\right] کا دترمینان یوں تعریف کیا جاتا ہے:  
\ \det(A) = ad - bc
انگریزی میں اسے determinant کہتے ہیں۔ دترمینان کے ہندسہ معنی کے لیے نیچے "مسلئہ اثباتی 4" دیکھو۔

دترمینان[ترمیم]

ایک 3\times 3 میٹرکس


A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\
a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} 
\end{matrix}\right]

کا دترمینان یہ ہو گا


\det(A) = a_{0,0} a_{1,1} a_{2,2} 
+ a_{0,1} a_{1,2} a_{2,0} 
+ a_{0,2} a_{1,0} a_{2,1} 
- a_{0,2} a_{1,1} a_{2,0} 
- a_{0,1} a_{1,0} a_{2,2} 
- a_{0,0} a_{1,2} a_{2,1}

اسی طرح ایک n\times n میٹرکس A کا دترمینان یوں لکھا جا سکتا ہے


\det(A) = \sum \pm a_{0,k_0} a_{1,k_1} \cdots a_{n-1,k_{n-1}}

جہاں 
\{k_0, k_1, \cdots, k_{n-1} \}
ایک تَبَدُّلِ کامل ہے، اعداد 
\{0, 1, \cdots, n-1 \}
کی، اس طرح کہ ایک رقم میں دو \ a_{i,j} ایک قطار سے نہ ہوں، اور نہ ہی دو \ a_{i,j} ایک ستون سے ہوں۔ غور کرو کہ یہاں \ n! رقمیں جمع ہو رہی ہیں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی ہے اس بنا پر کہ تَبَدُّلِ کامل کا نمبر جفت عدد ہے یا طاق عدد۔

(یہاں \ n! سے مراد n کا عامَلیّہ ہے۔) یہ طریقہ دترمینان کی تعریف سمجھنے کے لیے ہے۔ عملی طور پر دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ ہم اب بتاتے ہیں:

دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ[ترمیم]

تعریف: ایک n \times n میٹرکس A کا (i,j) والا چھوٹا ایسی \ n-1 \times n-1 میٹرکس \ A_{i,j} کو کہتے ہیں جو \ n \times n میٹرکس کی i ویں قطار اور j واں ستون کو ضائع کرنے سے بنائی جائے۔ انگریزی میں اسے minor کہتے ہیں۔ مثلاً میٹرکس 
A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & a_{0,3}\\
a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{matrix}\right]
کا (1,2) واں چھوٹا یوں لکھیں گے 
A_{1,2} = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} &  a_{0,3}\\
a_{2,0} & a_{2,1} &  a_{2,3}\\
a_{3,0} & a_{3,1} &  a_{3,3}\\
\end{matrix}\right]

تعریف: میڑکس A کے چھوٹے A_{i,j} اور 2 \times 2 میٹرکس کے دترمینان کو جانتے ہوئے ہم ایک n \times n میٹرکس 
A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1}\\
a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1}\\
\vdots & \cdots & \ddots & \vdots\\
a_{n-1,0} & a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,n-1}\\
\end{matrix}\right]
کا دترمینان یوں نکال سکتے ہیں (پہلے ستون کو استعمال کرتے ہوئے):

\det(A)  = a_{0,0} \det(A_{0,0}) - a_{1,0} \det(A_{1,0}) + \cdots + (-1)^{n} a_{n-1,0} \det(A_{n-1,0})

مسلئہ اثباتی 1[ترمیم]

میٹرکس جن کا سائیز n \times n ہو،

  • اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو \alpha سے ضرب دے کر میٹرکس B حاصل کی جائے تو:
\  \det(B) = \alpha \det(A)
  • اگر میٹرکس A کی کوئی دو قطاروں کی جگہ آپس میں تبدیل کر کے میٹرکس B حاصل کی جائے تو:
\  \det(B) = -\det(A)
  • اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو کسی عدد سے ضرب دے کر کسی دوسری قطار میں جمع کر دیا جائے، اور اس نئی میٹرکس کو B کہا جائے تو:
\ \det(B) = \det(A)
\ \det(I) = 1
  • میٹرکس A کے اُلٹ کا دترمیناں
\  \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}
  • میٹرکس A کے پلٹ کا دترمیناں
\  \det(A^{t}) = \det(A)
  • میٹرکس کو ایک سکیلر (عدد) سے ضرب دینے کے بعد کا دترمینان
\  \det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)

مسلئہ اثباتی 2[ترمیم]

میٹرکس جن کا سائیز n \times n ہو،

  • اگر کسی میٹرکس A کی کوئی قطار سب صفر ہو تو:

\ \det(A) =0

  • اگر کسی میٹرکس کی دو قطاریں برابر ہوں، تو:

\ \det(A) =0

مسلئہ اثباتی 3[ترمیم]

میٹرکس جن کا سائیز n \times n ہو، تو میٹرکس ضرب کا دترمینان: \ \det(AB) = \det(A) \det(B)

مسلئہ اثباتی 4[ترمیم]

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب  
f(X) = AX : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2
، جہاں میٹرکس A کا سائیز  2 \times 2 ہے، اور اس کا ہر جُز میدان \mathbb{R} میں ہے ۔ یہ "میٹرکس فنکشن" علاقہE کو علاقہ ‭f(E)‬ میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے رقبہ کی ریشو میٹرکسA کےدترمینان کی مطلق (absolute) قیمت کے برابر ہو گی:

 \frac{\mathrm{Area \ of \ } f(E)}{\mathrm{Area \ of \ } E} = |\det(A)|

(تصویر کے لیے دیکھو)

مسلئہ اثباتی 5[ترمیم]

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب  
f(X) = AX : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3
، جہاں میٹرکس A کا سائیز  3 \times 3 ہے، اور اس کا ہر جُز میدان \mathbb{R} میں ہے۔ یہ "فنکشن" علاقہE کو علاقہ ‭f(E)‬ میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے حجم کی ریشو میٹرکسA کےدترمینان کی مطلق قیمت کے برابر ہو گی:  \frac{\mathrm{Volume \ of \ } f(E)}{\mathrm{Volume \ of \ } E} = |\det(A)|

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات