اعتماد وقفہ

اصطلاح	term
اعتماد وقفہ نکتہ تخمینہ	confidence interval point estimate

کسی تصادفی تجربہ کے ذریعہ کسی تصادفی متغیر کی اوسط بطور نکتہ تخمینہ نکالنے کی بجائے ایک وقفہ بتایا جا سکتا ہے جس میں تخمینہ کے ہونے کا قوّی احتمال ہو۔ اس کے علاوہ تخمینہ کے وقفہ کے اندر ہونے پر اعتماد بھی فیصد عدد کے طور پر بتایا جاتا ہے۔ مثلاً کہا جائے کہ "جماعت الف کی عوام میں حمایت کا تخمینہ (13,16) فیصد کے وقفہ میں ہے اور اس تخمینہ پر ہمارا اعتماد 95 فیصد ہے،" یا احتمال نظریہ کی زبان میں کہیں گے کہ "جماعت الف کی حمایت کا 95% اعتماد وقفہ (13%, 16%) ہے۔ "

تصادفی متغیر X جس کا (اصل مگر نامعلوم) اوسط $\mu$ ہے، کے اوسط کا تجرباتی تخمینہ لگانے کے لیے تجربہ N بار دہرا کر مشاہدات کا اوسط نکالا جاتا ہے۔ ان مشاہدات $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{N}$ کا حسابی اوسط

{\bar {X}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}

نمونہ اوسط کہلاتا ہے۔ مشاہدات $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{N}$ کو آزاد اور ایک جیسے توزیع شدہ تصادفی متغیر سمجھا جاتا ہے، جن (میں سے ہر ایک) کا اوسط $\mu$ ہے اور معیاری انحراف $\sigma$ ۔ اس لیے "نمونہ اوسط" ${\bar {X}}$ بھی ایک تصادفی متغیر ہو گا جس کا اوسط $E({\bar {X}})=\mu$ اور معیاری انحراف ${\sqrt {{\hbox{Var}}({\bar {X}})}}={\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}$ ہو گا۔

$x_{C}$	$C$
1.960	0.95
2.324	0.99

فائل:Confidence interval area.png

تصویر 1۔

تعریف: عدد $x_{C}$ یوں تعریف کرو کہ معیاری معمول توزیع احتمال فنکشن $\ \phi (.)$ کے نیچے وقفہ $\ (-x_{C},x_{C})$ میں رقبہ $C$ ہو (تصویر 1)، یعنی کسی معیاری معمول توزیع شدہ تصادفی متغیر X کا وقفہ $\ (-x_{C},x_{C})$ میں ہونے کا احتمال $C$ ہے :

\Pr(-x_{C}\leq X\leq x_{C})=\int _{-x_{C}}^{x_{C}}\phi (x)dx=C

مرکزی حد مسلئہ اثباتی کی رو سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ تصادفی متغیر،

{\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {N}}}}

(بڑے N کے لیے) تقریباً معمول توزیع شدہ ہو گا۔ اس لیے

\Pr \left(-x_{C}\leq {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {N}}}}\leq x_{C}\right)\approx C

جسے یوں بھی لکھ سکتے ہیں

\Pr \left({\bar {X}}-x_{C}{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+x_{C}{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\right)\approx C

یعنی اصل اوسط $\mu$ کا وقفہ $\left({\bar {X}}-w_{C},{\bar {X}}+w_{C}\right)$ میں پڑنے کا احتمال $C$ ہے، جہاں ہم نے تعریف کیا $w_{C}=x_{C}{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}$ ہے۔ اب چونکہ $\sigma ^{2}$ بھی نامعلوم ہوتا ہے، اس لیے اس کا بھی مشاہدات کی مدد سے تخمینہ $S^{2}$ یوں لگاتے ہیں

S^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(X_{k}-{\bar {X}}\right)^{2}

اب S کو $\sigma$ کی جگہ $w_{C}$ کی تعریف میں استعمال کیا جا سکتا ہے، $w_{C}=x_{C}{\frac {S}{\sqrt {N}}}$

خلاصہ یہ کہ بڑے N کے لیے، تصادفی متغیر X کے نامعلوم اوسط $\ \mu =E(X)$ کا (قریباً) $C\times 100\%$ اعتماد وقفہ ہے ${\bar {X}}\pm w_{C}$

اعتماد کی تفسیر

فرض کرو کہ آپ نے کسی نامعلوم قدر $\mu$ کا $95\%$ اعتماد وقفہ تجربے سے $\ (a,b)$ معلوم کیا۔ اب یا تو نامعلوم قدر $\mu$ اس وقفے میں ہو گی یا پھر نہیں۔ سوال پیدا ہوتا ہے کہ 95 فیصد اعتماد سے کیا مراد ہے؟ اس کو یوں سمجھا جا سکتا ہے کہ تجربہ سے پہلے اس بات کا احتمال 0.95 ہے کہ تجربہ سے معلوم ہونے والے وقفہ میں نامعلوم قدر پڑے گی۔ یا تجربے کے بعد ہمارا اس امر میں اعتماد 95 فیصد ہے کہ نامعلوم قدر اس وقفہ میں ہے۔ یا پھر یوں کہیں کہ اگر ہم بہت بار تجربات کر کے متعدد $95\%$ اعتماد وقفے معلوم کریں، تو ان میں سے 95 فیصد وقفے ایسے ہوں گے کہ جن میں نامعلوم قدر پڑتی ہو گی۔