متعدد متغیر حسابان

Topics in Calculus

Fundamental theorem Limits of functions Continuity Mean value theorem Differential calculus  Derivative Change of variables Implicit differentiation Taylor's theorem Related rates Identities Rules: Power rule, Product rule, Quotient rule, Chain rule Integral calculus  Integral Lists of integrals Improper integrals Integration by: parts, disks, cylindrical shells, substitution, trigonometric substitution, partial fractions, changing order Vector calculus  Gradient Divergence Curl Laplacian Gradient theorem Green's theorem Stokes' theorem Divergence theorem Multivariable calculus  Matrix calculus Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian

متعدد متغیر حسابان یک متغیر کے حسابان کی توسیع ہے متعدد متغیرات میں: دالہ‌ات جن کا تفریق اور تکامل کیا جاتا ہے ایک متغیر کی بجائے متعدد متغیرات سے وابستہ ہوتی ہیں۔

مثالی عالج

حد اور استمری

حد اور استمری دالہ کا متعدد بُعد میں مطالعہ بہت غیر وجدانی نتائج فراہم کرتا ہے جو یک متغیر دالہ میں نہیں نظر آتے۔ مثلاً دو متغیر کی ایسی عددیہ دالہ وجود رکھتی ہیں جن کے ساحہ میں ایسے نقاط ہوتے ہیں جِن کو جب کسی لکیر کے ساتھ ساتھ پہنچا جائے، ایک خاص حد دیتے ہیں، مگر اگر کسی parabola کے ساتھ ساتھ پہنچا جائے تو کوئی اور حد دیتے ہیں۔ دالہ

$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$

مبدا سے گزرنے والی کسی لکیر کے ساتھ ساتھ مبدا پر پہنچے پر حد صفر دیتی ہے۔ مگر اگر مبدا کو parabola $y=x^2$ کے ساتھ ساتھ پہنچا جائے تو حد 0.5 ملتی ہے۔ چونکہ مختلف راستے مختلف حدیں دیتے ہیں، اس لیے مبدا پر اس دالہ کی حد وجود نہیں رکھتی۔

جزوی تفریقی

مشتق کے تصور کو جُزوی مشتق بالا بُعد میں جامع بناتا ہے۔ متعدد متغیر دالہ کا جزوی تفریق ایک متغیر کی نسبت سے اس دالہ کا مشتق ہے جبکہ باقی تمام متغیر کو دائم رکھا جائے۔

متعدد تکامل

تکامل کے تصور کو متعدد متغیروں میں دالہ کے لیے متعدد تکامل جامع بناتا ہے۔ دہرے اور تہرے تکامل کو مستوی میں رقبہ اور فضاء میں جُجم نکالنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فیوبنی قضیہ یقینی بناتا ہے کہ متعدد تکامل کو بہ تکرار تکامل کے ذریعہ تقویم کیا جا سکتا ہے۔

سطح تکامل اور لکیر تکامل کو منحنی مشعب جیسا کہ سطح اور منحنی پر تکامل کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔

اطلاقیات اور استعمال

متعدد متغیر حسابان کی طرزیات کو طبیعیاتی دنیا کے بہت سے دلچسپ اجرام کے مطالعہ میں استعمال کیا جاتا ہے۔ خاصاً،

		ساحہ/حیطہ	اطلاقی طرزیات
منحنی		$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$	منحنی کی لمبائی، لکیر تکامل، اور منحنہ۔
سطح		$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n$	سطحوں کا رقبہ، سطح تکامل، سطحوں کے بیچ سے سیلان، اور منحنہ۔
عددیہ میدان		$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$	اعاظم اور صغریات، لاگرینج ضربیہ, سمتی مشتق۔
سمتیہ میدان		$f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$	سمتیہ حسابان کے کوئی بھی عالج بشمول gradient، divergence، اور curl۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات