خیام تکون

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

خیام تکون
دو رقمی
عددی سر

Pascal's triangle
binomial
coefficient

دو رقمی عددی سر \tbinom{n}{r} کو تکون کی صورت لکھا جا سکتا ہے جو ایک وضع بناتے ہیں۔ اس تکون کو خیام تکون کہا جاتا ہے۔

\binom{n}{r}= \frac{n!}{r! \, (n-r)!} \,,\,\,\, n \in \mathbb{N},\, r\le n

جہاں ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔

خیام تکون
n=0 \tbinom{0}{0}
n=1 \tbinom{1}{0} \tbinom{1}{1}
n=2 \tbinom{2}{0} \tbinom{2}{1} \tbinom{2}{2}
n=3 \tbinom{3}{0} \tbinom{3}{1} \tbinom{3}{2} \tbinom{3}{3}
n=4 \tbinom{4}{0} \tbinom{4}{1} \tbinom{4}{2} \tbinom{4}{3} \tbinom{4}{4}
n=5 \tbinom{5}{0} \tbinom{5}{1} \tbinom{5}{2} \tbinom{5}{3} \tbinom{5}{4} \tbinom{5}{5}
n=6 \tbinom{6}{0} \tbinom{6}{1} \tbinom{6}{2} \tbinom{6}{3} \tbinom{6}{4} \tbinom{6}{5} \tbinom{6}{6}
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...


خیام تکون
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
5+10=15 غور کرو کہ
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1


تکون میں تناظر کو دیکھتے ہوئے یہ کلیہ ملتا ہے کہ:

 \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}

غور کرو کہ تکون میں کوئی عدد اس کے اوپر کی قطار میں دائیں اور بائیں اعداد کا حاصل جمع ہے (مثلاً تکون میں سرخ رنگ میں دکھایا ہے 10+5=15)، جس سے یہ کلیہ ملتا ہے:

 \binom{n}{r} + \binom{n}{r+1}= \binom{n+1}{r+1}

یہ واضح ہے کہ کسی قطار کا حاصل جمع

 \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n

اس سے پتہ چلتا ہے کہ n اشیاء کے مجموعہ کے ذیلی مجموعات کی تعداد 2^n ہوتی ہے (دیکھو تولیف

اس کے علاوہ

 \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0

دو رقمی پھیلاؤ[ترمیم]

دو رقمی مسلئہ اثباتی کے پھیلاؤ میں رقموں کے عددی سر خیام تکون کے برابر ہوتے ہیں۔ مثلاً

n=0  (a+b)^0 = 1
n=1  (a+b)^1 = a+ b
n=2  (a+b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2
n=3  (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2b + 3ab^2 + b^3
n=4  (a+b)^4 = a^4 + 4 a^3b + 6a^2b^2+ 4ab^3 + b^4
n=5  (a+b)^5 = a^5 + 5 a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
n=6  (a+b)^6 = a^6 + 6 a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5+ b^6

اور دیکھو[ترمیم]

حوالہ جات[ترمیم]


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات