آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
اصطلاح
term
خیام تکون
Pascal's triangle
دو رقمی عددی سر
(
n
r
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{r}}}
خیام تکون کہا جاتا ہے۔
(
n
r
)
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
,
n
∈
N
,
r
≤
n
{\displaystyle {\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!\,(n-r)!}}\,,\,\,\,n\in \mathbb {N} ,\,r\leq n}
جہاں ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔
خیام تکون
n=0
(
0
0
)
{\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}
n=1
(
1
0
)
{\displaystyle {\tbinom {1}{0}}}
(
1
1
)
{\displaystyle {\tbinom {1}{1}}}
n=2
(
2
0
)
{\displaystyle {\tbinom {2}{0}}}
(
2
1
)
{\displaystyle {\tbinom {2}{1}}}
(
2
2
)
{\displaystyle {\tbinom {2}{2}}}
n=3
(
3
0
)
{\displaystyle {\tbinom {3}{0}}}
(
3
1
)
{\displaystyle {\tbinom {3}{1}}}
(
3
2
)
{\displaystyle {\tbinom {3}{2}}}
(
3
3
)
{\displaystyle {\tbinom {3}{3}}}
n=4
(
4
0
)
{\displaystyle {\tbinom {4}{0}}}
(
4
1
)
{\displaystyle {\tbinom {4}{1}}}
(
4
2
)
{\displaystyle {\tbinom {4}{2}}}
(
4
3
)
{\displaystyle {\tbinom {4}{3}}}
(
4
4
)
{\displaystyle {\tbinom {4}{4}}}
n=5
(
5
0
)
{\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}
(
5
1
)
{\displaystyle {\tbinom {5}{1}}}
(
5
2
)
{\displaystyle {\tbinom {5}{2}}}
(
5
3
)
{\displaystyle {\tbinom {5}{3}}}
(
5
4
)
{\displaystyle {\tbinom {5}{4}}}
(
5
5
)
{\displaystyle {\tbinom {5}{5}}}
n=6
(
6
0
)
{\displaystyle {\tbinom {6}{0}}}
(
6
1
)
{\displaystyle {\tbinom {6}{1}}}
(
6
2
)
{\displaystyle {\tbinom {6}{2}}}
(
6
3
)
{\displaystyle {\tbinom {6}{3}}}
(
6
4
)
{\displaystyle {\tbinom {6}{4}}}
(
6
5
)
{\displaystyle {\tbinom {6}{5}}}
(
6
6
)
{\displaystyle {\tbinom {6}{6}}}
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
خیام تکون
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10
5
1
n=6
1
6
15
20
15
6
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5+10=15 غور کرو کہ
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10
5
1
n=6
1
6
15
20
15
6
1
تکون میں تناظر کو دیکھتے ہوئے یہ کلیہ ملتا ہے کہ:
(
n
r
)
=
(
n
n
−
r
)
{\displaystyle {\binom {n}{r}}={\binom {n}{n-r}}}
غور کرو کہ تکون میں کوئی عدد اس کے اوپر کی قطار میں دائیں اور بائیں اعداد کا حاصل جمع ہے (مثلاً تکون میں سرخ رنگ میں دکھایا ہے 10+5=15)، جس سے یہ کلیہ ملتا ہے:
(
n
r
)
+
(
n
r
+
1
)
=
(
n
+
1
r
+
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{r}}+{\binom {n}{r+1}}={\binom {n+1}{r+1}}}
یہ واضح ہے کہ کسی قطار کا حاصل جمع
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
⋯
+
(
n
n
)
=
2
n
{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\cdots +{\binom {n}{n}}=2^{n}}
اس سے پتہ چلتا ہے کہ n اشیاء کے مجموعہ کے ذیلی مجموعات کی تعداد
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
تولیف )۔
اس کے علاوہ
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
=
0
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}=0}
دو رقمی مسلئہ اثباتی کے پھیلاؤ میں رقموں کے عددی سر خیام تکون کے برابر ہوتے ہیں۔ مثلاً
n=0
(
a
+
b
)
0
=
1
{\displaystyle (a+b)^{0}=1}
n=1
(
a
+
b
)
1
=
a
+
b
{\displaystyle (a+b)^{1}=a+b}
n=2
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
n=3
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
n=4
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4
a
3
b
+
6
a
2
b
2
+
4
a
b
3
+
b
4
{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}
n=5
(
a
+
b
)
5
=
a
5
+
5
a
4
b
+
10
a
3
b
2
+
10
a
2
b
3
+
5
a
b
4
+
b
5
{\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}}
n=6
(
a
+
b
)
6
=
a
6
+
6
a
5
b
+
15
a
4
b
2
+
20
a
3
b
3
+
15
a
2
b
4
+
6
a
b
5
+
b
6
{\displaystyle (a+b)^{6}=a^{6}+6a^{5}b+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6ab^{5}+b^{6}}
E=mc2 اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے ریاضی علامات
ویکی ذخائر پر خیام تکون
