دو رقمی مسئلہ اثباتی

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

دو رقمی
عددی سر

binomial
coefficient

دو رقمی مسلئہ اثباتی، دو رقمی \ a+b کی طاقت \ (a+b)^n، جہاں n غیر منفی صحیح عدد ہے، کے پھیلاؤ کا کلیہ دیتا ہے

 (a+b)^n = \binom{n}{0} a^n +  \binom{n}{1} a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{r} a^{n-r}b^{r} + \cdots + \binom{n}{n}b^n

جہاں

\binom{n}{r}= \frac{n!}{r! \, (n-r)!}

اور ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔ اس پھیلاؤ کو \sum کی علامت استعمال کرتے ہوئے یوں لکھ سکتے ہیں

 (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r}b^r

 \tbinom{n}{r} a^{n-r}b^r کو دو رقمی مسلئہ اثباتی کی عام رقم کہتے ہیں۔


n کی کچھ قدروں کے لیے پھیلاؤ جدول میں دیا ہے۔ غور کرو کہa^{n-r}b^r کے عددی سر خیام تکون سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔

خیام تکون
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...


n=0  (a+b)^0 = 1
n=1  (a+b)^1 = a+ b
n=2  (a+b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2
n=3  (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2b + 3ab^2 + b^3
n=4  (a+b)^4 = a^4 + 4 a^3b + 6a^2b^2+ 4ab^3 + b^4
n=5  (a+b)^5 = a^5 + 5 a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
n=6  (a+b)^6 = a^6 + 6 a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5+ b^6

ثبوت[ترمیم]

n دو رقمی \ (a+b) کو آپس میں ضرب دینے سے \ (a+b)^n حاصل ہوتا ہے

\ (a+b)^n = (a+b) (a+b) \cdots (a+b)

پھیلاؤ کی کسی رقم کے لیے ہم ہر دو رقمی سے ہم یا a یا b چنتے ہیں. اگر ہم صفر b چنیں تو ایسا کرنے کے \tbinom{n}{0}=1 راستے ہیں (دیکھو تولیف) اور یہ a^n b^0 کا عددی سر بنتا ہے۔ اگر r دفعہ b چنیں تو ایسا کرنے کے \tbinom{n}{r} راستے ہیں اور یہ a^{n-r}b^r{} کا عددی سر بنتا ہے۔

کلیہ جات[ترمیم]

اس مسلئہ اثباتی سے مختلف مفید کلیہ جات اخذ کیے جا سکتے ہیں:

  • اگر a=1, b=1 ہو تو کلیہ حاصل ہوتا ہے
 \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n
  • اگر a=1, b=-1 ہو تو تو کلیہ حاصل ہوتا ہے
 \sum_{r=0}^{n} (-1)^r \binom{n}{r} = 0




اور دیکھو[ترمیم]

حوالہ جات[ترمیم]


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

Binomial theorem