دائرہ

فائل:220px-دائرہ 1.png

دائرہ

مستوی کے کسی ایک معین (Fixed) نقطہ سے ہم فاصلہ تمام نقاط کے سیٹ کو دائرہ کہتے ہیں۔اور اسی کو دائرہ کہتے ہیں,

معین نقطہ اس دائرے کا مرکز اور اور اس نقطہ سے دائرے کے کسی بھی نقطہ کو ملانے والے قطعہ خط کو رداسی قطعہ Radial Segment اور اس کی لمبائی کو رداس Radius کہتے ہیں۔
اس لحاظ سے :

• دائرہ کا مرکز اس کے اندر واقع ہوتا ہے۔
• کسی دائرے کا مرکز یکتا ہوتا ہے۔
• کسی دائرے کے تمام رداس لمبائی میں برابر ہوتے ہیں۔

دائرہ کا محیط

فائل:Circumference.png

کسی دائرہ کے مرکز سے رداس کے فاصلہ پر موجود تمام نقاط کو ملانے والے خط یعنی دائرے کی لمبائی کو دائرے کا محیط کہتے ہیں۔

دائرہ کا وتر

فائل:Chord & Diameter.png

دائرہ کا وتر اور قطر

ایسا قطعہ خط جس کے دونوں سرے دائرہ کے نقاط ہوں اس دائرے کا وتر کہلاتا ہے۔ جیسا کہ اس شکل میں دائرہ کا مرکز O ہے، قطعہ خط PQ اور LM دائرہ کے وتر ہیں۔

دائرہ کا قطر

دائرے کے مرکز میں سے گزرتا ہوا وتر دائرے کا قطر کہلاتا ہے۔ جیسا کہ اس شکل میں دائرہ کا مرکز O ہے، قطعہ خط PQ اور LM دائرہ کے وتر ہیں جبکہ LM دائرے کا قطر ہے کینوکہ یہ دائرے کے مرکز O سے گزرتا ہے۔

دائرہ کی قوس

فائل:Arc قوس.png

دائرے کے محیط کا کوئی بھی ٹکڑا یا حصہ دائرے کی قوس کہلاتا ہے۔ جیسا کہ اس شکل میں PQ کو دائرہ کی قوس کہیں گے۔

نصف دائرہ

فائل:Half-Circle.png

کسی دائرے کے مرکزی وتر سے کٹا ہوا نصف محیط پر مشتمل شکل یا حصہ نصف دائرہ کہلاتا ہے۔ جیسا کہ اس شکل میں PQ نصف دائرہ کو ظاہر کرتا ہے۔

قوس صغیرہ

فائل:Minor Arc.png

ایسی قوس جو نصف دائرہ سے چھوٹی ہو دائرہ کی قوس صغیرہ کہلاتی ہے۔ جیسا کہ اس شکل میں PQ ایک قوس صغیرہ ہے۔

قوس کبیرہ

فائل:Major Arc.png

ایسی قوس جو نصف دائرہ سے بڑی ہو دائرہ کی قوس کبیرہ کہلاتی ہے۔ جیسا کہ اس شکل میں RS ایک قوس کبیرہ ہے۔

مرکزی زاویہ

فائل:Central Angle.png

کوئی قوس دائرہ کے مرکز پر جو زاویہ بناتی ہے اس کو مرکزی زاویہ کہتے ہیں۔ جیسا کہ اس شکل میں قوس AB دائرے کے مرکز C پر زاویہ ACB بناتی ہے جو قوس AB کا مرکزی زاویہ ہے۔

متماثل دائرے اور قوسیں

وہ دائرے جن کے رداس برابر ہوں متماثل دائرے کہلاتے ہیں۔
ایسی دو قوسیں جو ایک ہی دائرے یا دو متماثل دائروں پر واقع ہوں اور جن کی لمبائیاں برابر ہوں متماثل قوسیں کہلاتی ہیں۔
فائل:Congruent Circles.png

اس لحاظ سے :

کسی بھی دائرہ یا دو مختلف متماثل دائروں میں دو قوسیں متماثل ہوں گی اگر ان کے مرکزی زاویے متماثل ہوں گے۔ فائل:Congruent-Circles.png

دائرہ کا قطعہ

فائل:Segment of a Circle.png

دائرہ کا قطعہ

دائرہ کا وتر دائروی علاقہ کو دو حصوں میں تقسیم کرتا ہے۔ یہ علاقے دائرہ کے قطعات کہلاتے ہیں۔
وتر اور قوس صغیرہ کا محصور علاقہ قطعہ صغیرہ جبکہ وتر اور قوس کبیرہ کا محصور علاقہ قطعہ کبیرہ کہلاتا ہے۔
سامنے کی شکل میں گہرا سایہ دار علاقہ قطعہ صغیرہ جبکہ باقی علاقہ قطعہ کبیرہ ہے۔
اس لحاظ سے :

• قطعہ صغیرہ نصف دائروی علاقہ سے چھوٹا ہوتا ہے۔
• قطعہ کبیرہ نصف دائروی علاقہ سے بڑا ہوتا ہے۔

دائرہ کا سیکٹر

فائل:Sector of a Circle.png

دائرہ کا سیکٹر

دائرہ کے کوئی سے دو رداسی قطعات اور ان کے متعلقہ قوس سے گِھرا ہوا دائروی علاقہ دائرہ کا سیکٹر کہلاتا ہے۔ سامنے کی شکل میں OPQ اور OPR دائرے کے سیکٹر ہیں۔
اس لحاظ سے :

• کسی دائروی علاقہ کو ایک سے زیادہ سیکٹرز میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔
• کسی مستوی پر ایک خط مستقیم اور ایک دائرے کی موجودگی کی مندرجہ ذیل تین صورتیں ممکن ہیں۔
  • جب خط مستقیم دائرہ کو دو نقاط پر قطع کرے۔
  • جب خط مستقیم دائرہ کو ایک نقطع پر مَس کرے۔
  • جب خط مستقیم دائرہ کو کہیں بھی مَس یا قطع کرے۔

فائل:خط مستقیم کی تین صورتیں.png

دائرہ کا خط قاطع

ایسا خط مستقیم جو کسی دائرہ کو دو نقاط پر قطع کرے خط قاطع کہلاتا ہے۔

دائرہ کا مماس

ایسا خط مستقیم جو دائرے کے محیط کو صرف اور صرف ایک نقطہ پر مَس کرے اور اس پر موجود کوئی اور نقطہ دائرے کے اندرونہ میں واقع نہ ہو دائرے کا مماس کہلاتا ہے جیسا کے اوپر کی شکل میں دائرہ C₂ میں خط دکھایا گیا ہے۔

• مماس دائرے کے رداس پر عمود بھی ہوتا ہے

دائروں کی شکل میں خط AB دائرہ C₁ کا خط قاطع
دائرہ C₂ کا مماس
اور دائرہ C₃ کا خط قاطع ہے نہ مماس۔
اس لحاظ سے :

• دائرہ کا ہر رداس اس کے محیط کو صرف ایک نقطہ پر قطع کرتا ہے لیکن یہ دائرے کا مماس نہیں ہے۔

مماسہ دائرے

فائل:Tangent Circles.png

مماسہ دائرے

وہ دائرے جو ایک دوسرے کو صرف اور صرف ایک نقطہ پر مَس کریں مماسہ دائرے کہلاتے ہیں۔
دو دائرے ایک دوسرے کو دو طرح سے مَس کر سکتے ہیں۔

• جب ایک دائرہ دوسرے دائرے کے اندر ہو۔
• جب ایک دائرہ دوسرے دائرے کے باہر ہو۔

مشترک مماس

دائروں کے مشترک نقطہ پر خط مماس ان دائروں کا مشترک مماس کہلاتا ہے۔

مماس کا طول

کسی بیرونی نقطہ سے دائرہ کے کسی نقطہ پر مماس کھینچا جائے تو ان نقاط کا درمیانی فاصلہ مماس کا طول کہلاتا ہے۔
اس لحاظ سے :

• دو مماسہ دائروں کے مرکز اور نقطہ مماس ایک ہی خط مستقیم پر واقع ہوتے ہیں۔

فائل:Length of Tangent.png

ہم مرکز دائرے

فائل:Concentric Circles.png

ایسے دائرے جن کا مرکز ایک ہی نقطہ ہو ہم مرکز دائرے کہلاتے ہیں۔
اوپر کی شکل میں تمام دائروں کا مرکز O ہے پس تمام دائرے ہم مرکز ہیں۔

مثلث کے حوالے سے دائروں کی اقسام

مثلث کے حوالے سے دائروں کی مندرجہ ذیل تین اقسام ہیں۔

مثلث کا محاصرہ دائرہ

فائل:Circumcircle of a Triangle.png

ایسا دائرہ جو مثلث کے تینوں راسوں میں سے گذرے مثلث کا محاصرہ دائرہ کہلاتا ہے۔ اس دائرہ کا مرکز اس کا مرکزِ محیط کہلاتا ہے اور اس کا رداس محیط رداس کہلاتا ہے۔ انگریزی میں اسے عام طور پر R سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
سامنے دی گئی شکل میں O دائرے کا مرکزِ محیط اور R رداس ہے۔

دائرے کا مرکزِ محیط دی گئی مثلث کے اضلاع کے عمودی ناصفوں کا مشترک نقطہ تقاطع ہوتا ہے۔
فائل:Circumcircle of-a-Triangle.png

اس لحاظ سے :

• مثلث کے تینوں عمودی ناصف مرکزِ محیط پر آپس میں ایک دوسرے کو ایک مشترک نقطہ پر قطع کرتے ہیں۔

مثلث ABC کے اضلاع کے عمودی ناصف مشترک نقطہ O پر قطع کرتے ہیں۔

مثلث کا محصور دائرہ

فائل:Incribed Circle of a Triangle.png

ایسا دائرہ جو مثلث کے تینوں اضلاع کو اندرونی طور پر مَس کرے مثلث کا محصور دائرہ کہلاتا ہے۔ اس کا رداس محصور رداس کہلاتا ہے۔ انگریزی میں اسے عام طور پر r سے جبکہ محصور مرکز کو I سے ظاہر کرتے ہیں۔
سامنے کی شکل میں دیا گیا دائرہ مثلث ABC کا محصور دائرہ، IP محصور رداس اور نقطہ I محصور مرکز ہے۔
اس لحاظ سے :

فائل:Incribed Circle of a Triangle1.png

• محصور دائرہ کا مرکز I مثلث کے تینوں اضلاع سے ہم فاصلہ ہے۔
• مثلث کے تینوں زاویوں کے ناصف مرکز I پر ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں۔

مثلث کا جانبی دائرہ

فائل:Escribed Circle of a Triangle.png

کسی مثلث کے دو اضلاع کو بڑھایا جائے تو ایسا دائرہ جو مثلث کے ایک ضلع کو بیرونی طور پر اور دوسرے بڑھے ہوئے دونوں اضلاع کو اندرونی طور پر مَس کرے مثلث کا جانبی دائرہ کہلاتا ہے۔ ایسے دائرے کا مرکز جانبی مرکز اور رداس جانبی رداس کہلاتا ہے۔
سامنے دی گئی شکل میں مثلث ABC کے اضلاع AC اور AB کو نقاط 'B اور 'C تک بڑھایا، ایک دائرہ جس کا مرکز I₁ ہے مثلث ABC کے ضلع BC کو باہر سے نقطہ P پر اور 'AC اور 'AB کو نقاط Q اور R پر اندر کی طرف سے مَس کرتا ہے۔
شکل میں دکھایا گیا ہے کہ دائرہ مثلث ABC کا جانبی دائرہ ہے اور mI₁P=r₁ دائرہ کا جانبی رداس ہے
اس لحاظ سے :

فائل:Escribed Circle of a Triangle1.png

• دائرہ کا مرکز I₁ مثلث کے راس A کی مخالف سمت میں ہے۔
• اندرونی زاویہ A اور بیرونی زاویوں 'GBB∠ اور C'CB∠ کے ناصف نقطہ I₁ پر قطع کرتے ہیں جو جانبی دائرے کا جانبی مرکز ہیں۔