اسی دالہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
x کی منفی اقدار کے لیے اَسٔی دالہ تقریباً مسطح (آہستہ چڑھتی) ہوتی ہے، x کی مثبت اقدار کے لیے تیزی سے چڑھتی ہے، اور x=0 کے لیے 1 کے برابر ہوتی ہے۔ اس کی y قدر ہمیشہ نقطہ x پر اس کی مائل کے برابر ہوتی ہے۔
اصطلاح term

اَسّی
دالہ
مائل

exponential
function
slope

ریاضیات میں اَسّی دالہ ایک دالہ ہے۔ اس دالہ کے قدر x پر اطلاق کو \ \exp(x) لکھا جاتا ہے۔ یا بمعادلہ اس کو ex لکھا جاتا ہے، جہاں e ریاضیاتی دائم ہے جو قدرتی لاگرتھم کی اساس ہے (تقریباً 2.718281828)۔

ایک حقیقی متغیر کی دالہ کے بطور، y = ex کا مخطط ہمیشہ مثبت ہوتا ہے (x محور سے اوپر) اور بڑھتا ہؤا (بائیں سے دائیں دیکھتے ہوے)۔ یہ x محور کو کبھی نہیں چھوتا، اگرچہ یہ اس کے من مانا قریب آ سکتا ہے۔ (گویا، x محور اس مخطط کا افقی asymptote ہے)۔ اس کا اُلٹا دالہ قدرتی لاگرتھم \ \ln(x) ہے، جو مثبت x کے لیے تعریف شدہ ہے۔

سائنس میں "اَسّی دالہ" ہئیت cbx کی دالہ کو بھی کہتے ہیں، جہاں b، جسے اساس کہتے ہیں، کوئی مثبت حقیقی عدد ہو، ضروری نہیں کہ e۔

جامع طور پر، متغیر x حقیقی یا مختلط عدد ہو سکتا ہے۔


بالامنظر اور تشویق[ترمیم]

اَسّی دالہ کو ریاضیاتی دائم e کو طاقت x پر چڑھانے صورت میں لکھا جاتا ہے کیونکہ جب اسی دالہ کا اطلاق 1 پر کیا جائے تو جواب e ہوتا ہے،

\,\exp(1) = e

اور یہ اسٔاتی شناخت

\,\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y) \

پر پورا اترتی ہے۔

یہ منفرد متواصل دالہ ہے جو حقیقی عدد طاقت کے لیے ان دو شناختوں کی تسکین کرتی ہے۔ اس وجہ سے اسے غیرناطق طاقت پر چڑھانے کے عمل کی تعریف میں استعمال کیا جاتا ہے۔

جب z مختلط عدد ہو تو اَسّی دالہ e^z کی مختلط مستوی میں کہیں بھی وحدانیت نہیں ہوتی۔ اسّی دالہ کا عائلر کلیہ میں اظہار اسے مختلط اعداد کے ساتھ کام کرنے میں مرکزی اہمیت کا حامل بنا دیتا ہے۔

اَسّی دالہ کی مختلف توصیف ہیں۔ جو توصیف اس کے ریاضی میں نفوذی استعمال کی وجہ ہے یہ ہے کہ ایسی دالہ ہے جس کی تبدیلی کی شرح اس کی قدر کے برابر ہوتی ہے، اور جو 0 پر 1 ہے۔ جامع طور پر جہاں تبدیلی کی شرح راست متناسب ہو قدر کے (بجائے برابر ہونے کے)، تو ایسی دالہ کا اَسّی دالہ کے زریعہ یوں اظہار کیا جا سکتا ہے:

f'(x) = k f(x) \ ,
f(0) = c \ ,

دیتا ہے

f(x) = c e^{k x} \ .

اگر b = ek تو اس کی ہئیت یوں cbx ہوتی ہے۔ اسّائیا کسی جامع اساس b پر، جیسے bx (کو اَسّی دالہ اساس b پر بولتے ہیں) کو اَسّی دالہ اور اس کے اُلٹ، لاگرتھم، کے استعمال سے یوں تعریف کیا جاتا ہے:

\,\!\, b^x=\left(e^{\ln b}\right)^x=e^{x \ln b}.\,

سائنس میں اس کے استعمال سے اَسّائی نُمُو اور اَسّائی تنزل تشریح کیا جاتا ہے۔

صَوّری تعریف[ترمیم]

اَسّی دالہ (نیلا)، اور طاقت سلسلہ کی پہلی n+1 اصطلاحات کا حاصل جمع (سرخ)

اَسّی دالہ ex کو انواع مساوی طریق سے تعریف کیا جا سکتا ہے، بطور لامتناہی سلسلہ کے۔ خاص طور پر طاقت سلسلہ کے طور پر یوں:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

اس تعریف کی ہئیت ٹیلر سلسلہ کی ہے۔

بعض اوقات ex کو درج ذیل مساوات کے حل y کے بطور تعریف کیا جاتا ہے

x = \int_{1}^y {dt \over t}

اس کی درج ذیل حد بھی ہے:

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}

مختلط مستوی پر[ترمیم]

مختلط مستوی پر اَسّی دالہ۔ گہرے سے ہلکے رنگوں کی طرف تغیر ظاہر کرتا ہے کہ اَسّی دالہ کی مطلق قدر بڑھ رہی ہے، دائیں طرف۔ معیادی افقی شریط (پٹی) ظاہر کرتے ہیں کہ اَسّی دالہ اپنے ادخال کے تخیلی حصہ میں معیادی ہے۔

حقیقی اعداد کے معاملہ کی طرح، مختلط مستوی میں بھی اَسّی دالہ کو مختلف مساوی طریقہ سے تعریف کیا جا سکے ہے۔ طاقت سلسلہ سے تعریف کی جا سکتی ہے، حقیقی عدد کو مختلط عدد سے بدل کر:

\,\!\, e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!}

اس کو مد نظر رکھتے ہوئے باآسانی دیکھا جا سکتا ہے کہ کیوں {d \over dz} e^z = e^z تمام مختلط مستوی پر لاگو ہے۔

ایک اور تعریف جو حقیقی معاملہ کو مختلط پر وسعت دیتا ہے۔ پہلے ہم آرزو وصف بیان کرتے ہیں۔ e^{x + iy} = e^x e^{i y}۔ اب e^x کے لیے ہم حقیقی اَسّی دالہ ہی استعمال کرتے ہیں۔ پھر ہم تخیلی حصہ کے لیے تعریف کرتے ہیں: \ e^{i y} = cos(y) + i sin(y)

جب مختلط مستوی پر تعریف کیا جائے تو اَسّی دالہ اپنی اہم خصوصیات برقرار رکھے ہے: \,\!\, e^{z + w} = e^z e^w

\,\!\, e^0 = 1
\,\!\, e^z \ne 0
\,\!\, {d \over dz} e^z = e^z

تمام (مختلط) z اور w کے لیے۔

یہ دالہ معیادی ہے، تخیلی معیاد \,2 \pi i پر، اور یوں لکھا جا سکتا ہے

\,\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

جہاں a اور b حقیقی عدد ہیں۔ یہ کلیہ اَسّی دالہ کو مثلثیاتی دالہ سے تعلق دیتا ہے۔ اس طرح ہم دیکھتے ہیں کہ تمام ابتدائی دالہ سوائے کثیر رقیم کے، اَسّی دالہ سے پھوٹتے ہیں ایک یا دوسرے راستے سے۔

قدرتی لاگرتھم کو مختلط مد میں وسعت دینے سے متعدد قدری دالہ \ \ln(z) ملتی ہے۔ اس سے ہم جامع اَسّیاتی تعریف کر سکتے ہیں:

\,\!\, z^w = e^{w \ln z}

مختلط عدد z اور w کے لیے۔ یہ بھی متعدد قدری دالہ ہے۔ اوپر دیے اسیاتی قوانین سچ رہتے ہیں اگر متعدد قدری دالہ کی صحیح تشریح کی جائے۔ چونکہ یہ متعدد قدری دالہ ہے، حقیقی عدد کے لیے اَسّیائی کا ضرب دینے کا کلیہ کام نہیں کرتا،

\,\!\, (e^z)^w \ne e^\left(z w\right)

اَسّی دالہ مختلط مستوی میں کسی لکیر کو مختلط مستوی میں لاگرتھمی گردش میں لے جاتی ہے جس کا مرکز مبدا ہوتا ہے۔


مختلط z کے لیے exp(z) کی شمارندگی[ترمیم]

z=x+i y کے لیے یہ سیدھا سادھا کلیہ ہے

\,e^{x + yi} = e^xe^{yi} = e^x(\cos(y) + i \sin(y)) = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)

یہاں مثلثیاتی دالہ کا استدلال y حقیقی ہے۔


ab کی شمارندگی جب a اور b مختلط ہوں[ترمیم]

مختلط اَسّیاتی ab کو تعریف کرنے کے لیے a کو قطبی متناسق میں بدل کر، اور یہ شناخت (eln(a))b = ab استعمال کر کے:

\,a^b = (re^{{\theta}i})^b = (e^{\ln(r) + {\theta}i})^b = e^{(\ln(r) + {\theta}i)b}

البتہ جب b صحیح عدد نہ ہو، تو یہ دالہ متعدد رقمی ہوتی ہے کیونکہ θ منفرد نہیں ہوتا۔



اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات