پوئیسن توزیع

تصویر 1: پوئیسن توزیع کی احتمال کمیت دالہ $\ p_X(.)$

تصویر 2: پوئیسن توزیع کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ $\ F_X(.)$

پوئیسن توزیعِ احتمال ایک توزیعِ احتمال ہے جو شاز و نادر ہونے والے واقعات کا احتمال ظاہر کرنے میں مفید ثابت ہوتی ہے۔ یہ توزیع متفرد تصادفی متغیر کے لیے ہے۔ پوئیسن توزیع شدہ متفرد تصادفی متغیر X کا حیطہ

$\{0,1,2,\cdots, \infty \}$

ہے، اور توزیعِ احتمال کمیت دالہ

$\ p_X(x) = \Pr(X=x)$

$p_X(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}\,,\,\, x=0,1,2,\cdots$

جہاں

• ! کی علامت عامِلیہ کو ظاہر کرتی ہے،
• $\lambda>0$ اصل عدد ہے،
• اور $e \approx 2.718$ قدرتی logarithm کی بنیاد

متوقع قدر اور تفاوت

پوئیسن توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کی متوقع قدر $\ E(X)$

$E(X) = \sum_{x=0}^\infty x p_X(x) = \lambda$

پوئیسن توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا تفاوت

$\ \hbox{var}(X) = \lambda$

دو رقمی توزیع کی حد

پوئیسن توزیع کو دو رقمی توزیع کی حد کے طور پر بیان کرنا مفید ہے۔ فرض کرو کہ دو رقمی توزیع کی آزمائشوں کی تعداد n بہت زیادہ ہے، اور کامیابی کا احتمال p بہت کم، جبکہ اوسط (متوقع قدر) $\lambda = np$

اب جب آزمائش کی تعداد n بہت زیادہ ہو ($\ n \to \infty$)، اور کامیابی کا احتمال p بہت کم ($\ p \to 0$)، جبکہ $\lambda = np$ دائم رہے، تو "کامیابی" کی تعداد ظاہر کرنے والے تصادفی متغیر X کی توزیع پوئیسن ہوتی جائے گی، اوسط $\lambda = np$ کے ساتھ:

$\Pr(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\,,\,\,\,\lambda=np \,,\,\, k=0,1,2,\cdots$

مثال

ایک شہر مٰیں واردات میں عینی شاہدوں کے مطابق ملزم ایک خاصیت رکھتا تھا جو عام آبادی میں دس لاکھ میں ایک شخص میں پائی جاتی ہے۔ پولیس نے ایک شخص کو واردات کے نواح سے گرفتار کیا جس میں یہ کمیاب خاصیت پائی گئی۔ شہر کی آبادی دو لاکھ ہے۔ استدلال دیا جا سکتا ہے کہ چونکہ یہ خاصیت "دس لاکھ میں ایک" والی ہے، اس لیے دو لاکھ کی آبادی میں احتمال بہت کم ہو گا، اس لیے گرفتار شدہ شخص کا مجرم ہونے کا امکان قوی ہے۔ اس استدلال کو زیادہ غور سے دیکھنے کی ضرورت ہے۔

چونکہ خاصیت کمیاب ہے (احتمال بہت کم ہے $p=10^-6$) اور آزمائش کی تعداد (شہر کی آبادی $n=200000$) بڑا عدد ہے، اس لیے شہر میں اس خاصیت رکھنے والے افراد کی تعداد X ہے، جہاں X تصادفی متغیر ہے، جس کی توزیع پوئیسن سمجھی جا سکتی ہے، اوسط کے $\lambda=np=0.2$ ساتھ۔ اب اگر شہر میں اس خاصیت والے افراد کی تعداد $X=m$ ہے (مشتبہ شخص کو چھوڑ کر)، تو اس شخص کے مجرم ہونے کا مشروط احتمال $\frac{1}{m+1}$ ہے۔ چنانچہ مشتبہ شخص کے مجرم ہونے کا احتمال ہو گا

$\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m+1} e^{-0.2} \frac{.2^m}{m!} = \frac{e^{-.2}}{.2} \sum_{m=0}^\infty \frac{.2^{m+1}}{(m+1)!} = \frac{e^{-.2}}{.2}(e^{.2}-1) = 0.90635$

یعنی مشتبہ شخص کے بے گناہ ہونے کا احتمال 9.3 فیصد ہے۔

اور دیکھو

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات