اولی عدد

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

تعریف: ایک مثبت صحیح عدد کو اولی کہا جاتا ہے اگر اس عدد کے صرف دو ضربی اجزا (جزوِ ضربی) ہوں (ایک یہ خود اور دوسرا 1)۔ مثلاً 25 سے چھوٹے اولی اعداد یہ ہیں:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
انگریزی میں عددِ اولی کو پرائم (prime) کہا جاتا ہے۔


عدد 1 نہ اولی ہے نہ مرکب۔

حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی[ترمیم]

تفصیلی مضمون: حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی

فرض کرو n>1 ۔ اب عدد n کو اولی اعداد پر مشتمل جزوِ ضربی کے بطور لکھا جا سکتا ہے۔ اور یہ جُزوِ ضربی منفرد ہونگے، صرف ترتیب مختلف ہو سکتی ہے۔ مثال:

\  299376 = 2^4 \times 3^5 \times 7 \times 11
جہاں 2, 3, 7, 11, اولی اعداد ہیں۔ ان اولی اعداد کے علاوہ کوئی دوسرا اولی اعداد کا مجموعہ نہیں، جو 299376 کے جزو ضربی بن سکیں، صرف ترتیب مختلف ہو سکتی ہے، مثلاً

\  299376 = 7 \times  3 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 3 \times 11 \times 3 \times 2

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

اولی اعداد کی تعداد لامحدود ہے۔
ثبوت:
ثبوت نفی طریقہ سے دیتے ہیں۔ فرض کرو کہ اولی اعداد کا مجموعہ محدود ہے۔ تو اس مجموعہ کو یوں لکھ لیتے ہیں:  \{  p_1, p_2, p_3, \cdots, p_k \} اب اس عدد کو دیکھو:  Q = p_1 p_2 p_3 \cdots p_k + 1 اب یا توQ اولی ہے یا پھر اس کے اولی جزو ضربی موجود ہیں۔ اگر اولی ہے تو مفروضے کی نفی ہو گئی۔ دوسری صورت میں دیکھو کہ اوپر دیے اولی اعداد میں سے کوئی بھی Q کو تقسیم نہیں کرتا جو کہ بنیادی نظریہ کے خلاف ہے۔ اس لیے یہ صورت بھی مفروضے کی نفی کرتی ہے۔ پس ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ یہ مفروضہ کہ "اولی اعداد کی تعداد محدود ہے" ہی غلط تھا۔

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

اگر صحیح عدد  n>1 کے کوئی جزوِ ضربی ایسے نہیں جو  \sqrt{n} سے چھوٹے ہوں ( \le \sqrt{n} ) ، تو عدد n اولی ہے۔

اولی عدد کی چھاننی[ترمیم]

اولی اعداد ڈھونڈنے کے لیے چھاننی کا طریقہ مفید ہے۔ فرض کرو کہ ہمیں 300 سے کم اعداد میں سے اولی عدد تلاش کرنے ہیں، تو 300 تک کے اعداد لکھ لو
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ........
اب 2 سے شروع کرتے ہیں۔ اس کے نیچے لکیر لگا دو۔ اب 2 کے ضربیات کاٹ دو۔ اس کے بعد 3 کے نیچے لکیر لگاؤ۔ اب 3 کے ضربیات کاٹ دو۔ اس ظرح نہ کٹے اعداد کے نیچے لکیر لگا کر اس کے ضربیات کاٹنے (چھاننے) کا عمل جاری رکھو۔ کسی نھی وقت سب سے چھوٹا عدد جس کے نیچے لکیر نہیں لگی یا کٹا ہؤا نہیں، تو یہ عدد اولی ہے۔ چونکہ  \lfloor\sqrt{300}\rfloor= 17  ، اسلئے ہمیں 17 تک کے اعداد کے نیچے لکیر لگانے کا عمل جاری رکھنا ہے۔

اولی عدد کی پہچان[ترمیم]

اولی کی یہ ایک کسوٹی ہے: اگر عدد pاولی ہے تو لازم ہے کہ وہ اس امتحان میں پورا اترے
p-1 کو 2 کی طاقت علیحدہ کر کے لکھو 
p-1 =2^\zeta \times \eta
تو p کے اولی ہونے کے لیے لازم ہے کہ نیچے دی دو مساوات میں سے ایک کی تسکین ہو:

\beta^\eta \equiv \pm 1 \mod p

یا 
\beta^{2^j \eta} \equiv -1 \mod p \,,\, j=1,2,\cdots,\zeta-1
ہر نیچے دیے \beta کے لیے

\beta = 2,3,\cdots,p-2

مثال: عدد 511 اولی نہیں کیونکہ 7 سے تقسیم ہوتا ہے۔ مگر \beta=81 کے لیے کسوٹی پر پورا اترتا ہے  \begin{matrix}
p-1 = 510 = 2^1 \times 255  \\
\beta=81  \\
\beta^\eta = 81^{255} \equiv 1 \mod 511
\end{matrix}
جس سے پتہ چلتا ہے کہ تمام \beta کے لیے تسلی کرنی چاہیے۔

عملی طور پر یہ کسوٹی اولی عدد ڈھونڈنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ بہت بڑے اعداد کی تجزی کرنا ممکن نہیں ہوتا۔ کچھ عملیات میں یہ کرتے ہیں کہ کسی عدد کے بمطابق بہت سے تصادفی \beta لے کر (مگر سارے نہیں) تجربہ کیا جاتا ہے، اگر کسوٹی پر کوئی عدد پورا اترے تو اسے اولی تصور کر لیا جاتا ہے۔

توزیع اولی اعداد[ترمیم]

اگر x سے کم اولی اعداد کی تعداد کو \pi(x) لکھا جائے تو

\frac{\pi(x) }{x/\ln(x)} \to 1  \,\, as\,\, x \to \infty


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات