"تبدیلی از بنیاد سمتیہ" کے نسخوں کے درمیان فرق

حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات

بین السطور

حالیہ نسخہ بمطابق 21:53، 11 مئی 2020ء

اگر ایک سمتیہ مکاں کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے ذریعہ ہو گی:
$\ c=Pd$
میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہوں گے۔

میڑکس P کو u سے v جانے والی منتقلہ میٹرکس (transition) کہتے ہیں۔

مثال[ترمیم]

$\mathbb {R} ^{2}$ میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ $e_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right],\,e_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$ کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: $4e_{0}+2e_{1}$

اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے: $u_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\,u_{1}=\left[{\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}}\right]$
ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی $u_{0}=1e_{0}+1e_{1},\,\,u_{0}=-4e_{0}+4e_{1}$
جس کے عددی سر پڑھ کر ہم میٹرکس P کے ستون لکھ لیتے ہیں: $P=\left[{\begin{matrix}1&-4\\1&4\end{matrix}}\right]$
اب نکتہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو میٹرکس کا الٹ استعمال ہوا ہے) $d=P^{-1}c=\left[{\begin{matrix}1&-4\\1&4\end{matrix}}\right]^{-1}\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1/2&1/2\\-1/8&1/8\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}3\\-1/4\end{matrix}}\right]$
یعنی $3u_{0}-(1/4)u_{1}$

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

اگر کسی سمتیہ مکاں میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u سے بنیاد سمتیہ مجموعہ v جانے والی منتقلہ میٹرکس P ہو، تو

میٹرکس کا اُلٹ، یعنی $P^{-1}$ ممکن ہے
v سے u جانے والی منتقلہ میٹرکس $P^{-1}$ ہے۔

E=mc² اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے ریاضی علامات

@@ سطر 1: / سطر 1: @@
-اگر ایک [[سمتیہ فضا]] کا ایک [[بنیاد سمتیہ]] مجموعہ<math>\ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \}</math> ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ ''b'' کی بنیاد سمتیہ مجموعہ <math>\ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \}</math> کے حوالے سے [[بنیاد سمتیہ#بنیاد سمتیہ کے حوالے سے (منفرد) صورت|صورت]] ''c'' ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ <math>\ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \}</math> ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ <math>\ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \}</math> کے حوالے سے اسی سمتیہ ''b'' کی صورت ''d'' ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک [[میٹرکس]] کے ذریعہ ہو گی:
+اگر ایک [[سمتیہ مکاں]] کا ایک [[بنیاد سمتیہ]] مجموعہ<math>\ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \}</math> ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ ''b'' کی بنیاد سمتیہ مجموعہ <math>\ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \}</math> کے حوالے سے [[بنیاد سمتیہ#بنیاد سمتیہ کے حوالے سے (منفرد) صورت|صورت]] ''c'' ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ <math>\ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \}</math> ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ <math>\ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \}</math> کے حوالے سے اسی سمتیہ ''b'' کی صورت ''d'' ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک [[میٹرکس]] کے ذریعہ ہو گی:
 <br/>
 <math>\ c = P d</math>
@@ سطر 66: / سطر 66: @@
 === مسلئہ اثباتی ===
-اگر کسی [[سمتیہ فضا]] میں [[بنیاد سمتیہ]] مجموعہ ''u'' سے بنیاد سمتیہ مجموعہ ''v'' جانے والی منتقلہ میٹرکس ''P''
+اگر کسی [[سمتیہ مکاں]] میں [[بنیاد سمتیہ]] مجموعہ ''u'' سے بنیاد سمتیہ مجموعہ ''v'' جانے والی منتقلہ میٹرکس ''P''
 ہو، تو
 * میٹرکس کا اُلٹ، یعنی <math>P^{-1}</math> ممکن ہے