دو رقمی مسئلہ اثباتی

اصطلاح	term
دو رقمی عددی سر	binomial coefficient

دو رقمی مسلئہ اثباتی، دو رقمی $\ a+b$ کی طاقت $\ (a+b)^n$ ، جہاں n غیر منفی صحیح عدد ہے، کے پھیلاؤ کا کلیہ دیتا ہے

$(a+b)^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{r} a^{n-r}b^{r} + \cdots + \binom{n}{n}b^n$

جہاں

$\binom{n}{r}= \frac{n!}{r! \, (n-r)!}$

اور ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔ اس پھیلاؤ کو $\sum$ کی علامت استعمال کرتے ہوئے یوں لکھ سکتے ہیں

$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r}b^r$

$\tbinom{n}{r} a^{n-r}b^r$ کو دو رقمی مسلئہ اثباتی کی عام رقم کہتے ہیں۔

n کی کچھ قدروں کے لیے پھیلاؤ جدول میں دیا ہے۔ غور کرو کہ $a^{n-r}b^r$ کے عددی سر خیام تکون سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔

خیام تکون
n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0	$(a+b)^0 = 1$
n=1	$(a+b)^1 = a+ b$
n=2	$(a+b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2$
n=3	$(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2b + 3ab^2 + b^3$
n=4	$(a+b)^4 = a^4 + 4 a^3b + 6a^2b^2+ 4ab^3 + b^4$
n=5	$(a+b)^5 = a^5 + 5 a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
n=6	$(a+b)^6 = a^6 + 6 a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5+ b^6$

ثبوت [ترمیم]

n دو رقمی $\ (a+b)$ کو آپس میں ضرب دینے سے $\ (a+b)^n$ حاصل ہوتا ہے

$\ (a+b)^n = (a+b) (a+b) \cdots (a+b)$

پھیلاؤ کی کسی رقم کے لیے ہم ہر دو رقمی سے ہم یا a یا b چنتے ہیں. اگر ہم صفر b چنیں تو ایسا کرنے کے $\tbinom{n}{0}=1$ راستے ہیں (دیکھو تولیف) اور یہ $a^n b^0$ کا عددی سر بنتا ہے۔ اگر r دفعہ b چنیں تو ایسا کرنے کے $\tbinom{n}{r}$ راستے ہیں اور یہ $a^{n-r}b^r{}$ کا عددی سر بنتا ہے۔