دو رقمی مسلئہ اثباتی

وکیپیڈیا سے

اصطلاح	term
دو رقمی عددی سر	binomial coefficient

دو رقمی مسلئہ اثباتی، دو رقمی $\ a+b$ کی طاقت $\ (a+b)^n$ ، جہاں n غیر منفی صحیح عدد ہے، کے پھیلاؤ کا کلیہ دیتا ہے

$(a+b)^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{r} a^{n-r}b^{r} + \cdots + \binom{n}{n}b^n$

جہاں

$\binom{n}{r}= \frac{n!}{r! \, (n-r)!}$

اور ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔ اس پھیلاؤ کو $\sum$ کی علامت استعمال کرتے ہوئے یوں لکھ سکتے ہیں

$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r}b^r$

$\tbinom{n}{r} a^{n-r}b^r$ کو دو رقمی مسلئہ اثباتی کی عام رقم کہتے ہیں۔

n کی کچھ قدروں کے لیے پھیلاؤ جدول میں دیا ہے۔ غور کرو کہ $a n - r b r$ کے عددی سر خیام تکون سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔

خیام تکون
n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0	$(a + b) 0 = 1$
n=1	$(a + b) 1 = a + b$
n=2	$(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2$
n=3	$(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3$
n=4	$(a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4$
n=5	$(a + b) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5$
n=6	$(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 a b 5 + b 6$

[ترمیم] ثبوت

n دو رقمی $\ (a+b)$ کو آپس میں ضرب دینے سے $\ (a+b)^n$ حاصل ہوتا ہے

$\ (a+b)^n = (a+b) (a+b) \cdots (a+b)$

پھیلاؤ کی کسی رقم کے لیے ہم ہر دو رقمی سے ہم یا a یا b چنتے ہیں. اگر ہم صفر b چنیں تو ایسا کرنے کے $\tbinom{n}{0}=1$ راستے ہیں (دیکھو تولیف) اور یہ $a n b 0$ کا عددی سر بنتا ہے۔ اگر r دفعہ b چنیں تو ایسا کرنے کے $\tbinom{n}{r}$ راستے ہیں اور یہ $a n - r b r$ کا عددی سر بنتا ہے۔

[ترمیم] کلیہ جات

اس مسلئہ اثباتی سے مختلف مفید کلیہ جات اخذ کیے جا سکتے ہیں:

اگر $a = 1, b = 1$ ہو تو کلیہ حاصل ہوتا ہے

$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n$

اگر $a = 1, b = - 1$ ہو تو تو کلیہ حاصل ہوتا ہے

$\sum_{r=0}^{n} (-1)^r \binom{n}{r} = 0$

[ترمیم] اور دیکھو

[ترمیم] حوالہ جات

E=mc² اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیۓ ریاضی علامات

Binomial theorem

دو رقمی مسلئہ اثباتی

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم] ثبوت

[ترمیم] کلیہ جات

[ترمیم] اور دیکھو

[ترمیم] حوالہ جات

خیالات

ذاتی اوزار

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

آلات

دیگر زبانیں

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...