عائلری کلیہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

ریاضیاتی دائم e پر
مقالات کے سلسلہ کا حصہ

Euler's formula.svg

Natural logarithm

اطلاقیات: compound interest · Euler's identity & Euler's formula  · half-lives & exponential growth/decay

e کی تعریف proof that e is irrational  · representations of e · Lindemann–Weierstrass theorem

شخصیات John Napier  · Leonhard Euler

Schanuel's conjecture

عائلر کے نام پر یہ کلیہ، ریاضیات میں مختلط تحلیل کا ہے، جو مثلشیاتی دالہ اور مختلط اَسّی دالہ کے درمیان گہرے تعلق کا پتہ دیتا ہے۔ عائلر کلیہ کا بیان ہے کہ، کسی حقیقی عدد x کے لیے:

e^{ix} = \cos x + i\sin x \!

جہاں e قدرتی لاگرتھم کی اساس ہے، i تخیلی اکائی، اور cos اور sin مثلثیاتی دالہ "جیب التمام" (cosine) اور "جیب منحنی" (sine) ہیں، اور مد x قطریہ میں ہے۔ جب x مختلط ہو، تب بھی یہ کلیہ لاگو رہتا ہے۔

رچرڈ فینمان نے اس کلیہ کو "ہمارا گوہر" کہا ہے، اور "تمام ریاضیات میں ایک بہت اہم، تقریباً حیران کن پریشان کن، کلیہ" بتایا ہے۔


تاریخ[ترمیم]

اس کلیہ کو سب سے پہلے راجر کوتیس نے 1714ء میں مثبوت کیا، اس ہئیت میں

 \ln(\cos x + i\sin x)=ix \

(جہاں ln علامت ہے قدرتی لاگرتھم کی، یعنی لاگرتھم اساس e پر)۔ پھر عائلر نے اس اپنی موجودہ ہئیت میں 1748ء میں شائع کیا، جس میں یہ ثابت کیا کہ دونوں اطراف کے لامتناہی سلسلہ برابر ہیں۔ ان دو اشخاص میں سے کسی کو بھی اس کلیہ کی ہندسہ تشریح نہیں سوجھی؛ مختلط عدد کو مستوی میں نقاط کے طور پر تصور کرنے کا خیال 50 سال بعد اُبھرا۔ عائلر اپنی درسی کتب میں طالب علموں کو مختلط اعداد سے ابتدا میں ہی آشنا کرنے کا حامی تھا۔

مختلط نظریہ عدد میں اطلاق[ترمیم]

Euler's formula.svg
e^{i\phi} = \cos \phi + i\sin \phi \!

اس کلیہ کی تشریح یوں کی جا سکتی ہے کہ دالہ e مختلط مستوی میں ایکائی دائرہ نقش کرتی ہے جب φ حقیقی اعداد کا احاطہ کرتا ہے۔ یہاں φ وہ زاویہ ہے جو دائرہ پر نقطہ کو مبدا سے ملانے والی لکیر اور "مثبت افقی محور" کے درمیان ہے، جسے اُلٹی گھڑی کی سمت، اور قطریہ میں ناپا جاتا ہے۔

اصل ثبوت اَسّی دالہ ei x (جہاں x حقیقی عدد ہے) اور sin x اور cos x کے ٹیلر سلسلہ میں پھیلاو پر مبنی ہے۔ دراصل اسی ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ کلیہ تمام مختلط عدد z کے لیے بھی لاگو ہے۔

مختلط مستوی میں کسی نقطہ کو مختلط عدد سے کارتیسی محدر میں نمائندگی دی جا سکتی ہے۔ کارتیسی اور قطبی محدر میں بدلی کے لیے عائلر کلیہ زریعہ فراہم کرتا ہے۔ قطبی صورت میں اصطلاح کی تعداد دو سے کم ہو کر ایک رہ جاتی ہے، جس سے ضرب آسان ہو جاتی ہے۔ کسی بھی مختلط عدد z = x + iy کو یوں لکھا جا سکے ہے

 z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,
 \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,

جہاں

 x = \mathrm{Re}\{z\} \, حقیقی حصہ
 y = \mathrm{Im}\{z\} \, تخیلی حصہ
|z| = \sqrt{x^2+y^2} مطلقہ z کا
atan2(y, x) =\phi  \,

\phi استدلال ہے z کا -- یعنی سمتیہ z اور محدر x کے درمیاں اُلٹی گھڑی کی جانب قطریہ میں ناپے جانے والا زاویہ، جو 2π کی جمع تک تعریف ہوتا ہے۔

اسطرح ہم عائلری کلیہ استعمال کرتے ہوئے مختلط عدد کا لاگرتھم تعریف کر سکتے ہیں۔ اس کے لیے ہم لاگرتھم کی تعریف (بطور اَسّیاتی کے اُلٹ) سے

a = e^{\ln (a)}\,

اور کہ

e^a  e^b = e^{a + b}\,

دونوں کسی بھی مختلط اعداد a اور b کے لیے لاگو۔

پھر لکھا جا سکتا ہے:

 z = |z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi}\,

کسی بھی z\ne 0 کے لیے۔ دونوں اطراف کا لاگرتھم لے کر یہ معلوم ہوتا ہے کہ:

\ln z= \ln |z| + i \phi.\,

اور دراصل یہ مختلط لاگرتھم کی تعریف کے لیے استعمال ہو سکتا ہے۔ اس لیے لاگرتھم متعدد رقمی دالہ ہے، چونکہ \phi متعدد رقمی ہے۔

مثلثیات سے رشتہ[ترمیم]

تحلیل اور مثلثیات کے بین عائلری کلیہ طاقتور رشتہ فراہم کرتا ہے، اور sin اور cos دالہ کی بطور اَسّی دالہ کے موزون حاصل جمع تفسیر کرتا ہے:

\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.

یہ دو مساوات عائلری کلیات کو جمع تفریق کر کے کشید کیے جا سکتی ہیں:

e^{ix} = \cos x + i \sin x \;
e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;

اور sin یا cos کے لیے حل کر کے۔

یہ کلیات مختلط استدلال x کے لیے مثلثیاتی دالہ کی تعریف بن سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ہو x = iy، ہمارے پاس ہے:

 \cos(iy) =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)
 \sin(iy) =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y).

مختلط اَسّیائی سے مثلثیات کو سادہ بنایا جا سکتا ہے، کیونکہ ان سے کاریگری آسان ہوتی ہے بنسبت جیباتی اجزا کے۔ ایک طراز یہ ہے کہ جیبات (sinusoids) کو اَسّی میں برابر تعبیر میں بدل دو۔ کاریگری کے بعد نتیجہ حقیقی ہی ہو گا۔ مثال سے واضح کرتے ہیں:


\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right].
\end{align}

ایک اور طراز ہے کہ جیبات کو مختلط تعبیر کے حقیقی حصہ کے طور لکھا جائے، اور ان پر کاریگری کی جائے، مثلاً


\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} 
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x].
\end{align}

یہ کلیہ cos(nx) کی اعادے سے تولید کے لیے استعمال ہوتا ہے، جہاں n صحیح عدد اور x قطریہ میں ہے۔


دوسری اطلاقیہ[ترمیم]

برقی ہندسیات میں اشارہ کو فوریئر تحلیل کے زریعہ جیبات کی تولیف سے لکھا جاتا ہے، اور پھر انھیں اَسّی دالہ کے حقیقی حصہ کے بطور لکھنا زیادہ آسان رہتا ہے۔


اور دیکھو[ترمیم]


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات