آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
مکسما (maxima)، علامتی اور عددی ریاضی کو کمپیوٹر پر انجام دینے کے لیے سافٹ ویئر ہے، جو آزاد مصدر ہے اور GPL اجازہ کے تحت عام دستیاب ہے۔ یہ شمارندی الجبرا نظام ہے جس میں احصا ، الجبرا، مساوات، متواقت لکیری مساوات ، تفریقی مساوات، فرق مساوات ، متکامل، ٹیلر سلسلہ، لاپلاس استحالہ ، کثیر رقمی ، مجموعہ ، میٹرکس ، سے عمل کیے جا سکتے ہیں۔ علامتی عالجہ کے علاوہ کسی بھی درستی سے عددی عالجہ کیے جا سکتے ہیں۔ اس کے علاوہ دو اور تین بُعد میں ایک اور دو متغیر کی دالہ کو درج کیا جا سکتا ہے۔
اس انقلابی "شمارندی الجبرا نظام" کا آغاز 1960 کی دہائی میں امریکی جامعہ ایم آئی ٹی میں ہوا۔ بعد میں یہ تجارتی سافٹ ویئر میکسیما کے نام سے جاری ہوا۔ مگر چونکہ جامعہ نے امریکی سرکار کی مالی امداد پر تیار ہوا تھا اس لیے ریاضی دانوں نے اس کا اصل ماخذ آزاد کرا لیا اور یہ مکسما کی بنیاد بنا۔ جامعہ ٹیکساس کا استاد ولیم شکیلٹر 1982 سے اپنی 2001 وفات تک اس کو آگے بڑھانے کے لیے کام کرتا رہا۔ 1998 میں اُستاد ولیم نے اسے GPL اجازہ کے تحت جاری کرنے کی اجازت حاصل کر لی تھی۔ آج کل رضاکاروں کا ایک گروہ اسے آگے بڑھا رہا ہے۔
اگرچہ مکسما اَمر لکیر (command line) بھی چلتا ہے، مگر آسانی کے لیے کچھ یوزر انٹرفیس بھی دستیاب ہیں۔ مکسما کے ساتھ xmaxima نامی سطح البین آتا ہے، مگر اس کے علاوہ TeXmacs, Imaxima, SAGE, Emacs, سطح بین بھی دستیاب ہیں۔ مگر سب سے جدید سطح البین wxMaxima ہے (تصویر) اور یہ لینکس کے علاوہ ونڈوز پر بھی چلتا ہے، یہ علاحدہ سے نصب کرنا ہوتا ہے۔ تخطیط کے لیے یہ گنوپلاٹ استعمال کرتا ہے، مگر xmaxima اس کے علاوہ openmath طرز بھی مہیا کرتا ہے۔
مکسما میں "
:
{\displaystyle :}
x
2
−
3
x
−
3
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x-3=0}
e1 کا نام دیا گیا ہے۔
(
%
i
3
)
e
1
:
x
2
−
3
∗
x
−
3
=
0
;
{\displaystyle (\%i3)e1:x^{2}-3*x-3=0;}
e
1
:
x
2
−
3
∗
x
−
3
=
0
;
{\displaystyle e1:x^{2}-3*x-3=0;}
(
%
o
3
)
e
1
:
x
2
−
3
∗
x
−
3
=
0
;
{\displaystyle (\%o3)e1:x^{2}-3*x-3=0;}
مساوات کو متغیر x میں حل کرنے کے لیے یوں لکھو
(
%
i
4
)
s
o
l
v
e
(
e
1
,
x
)
;
{\displaystyle (\%i4)solve(e1,x);}
s
o
l
v
e
(
e
1
,
x
)
;
{\displaystyle solve(e1,x);}
(
%
o
4
)
[
x
=
−
21
−
3
2
,
x
=
21
+
3
2
]
{\displaystyle (\%o4)[x=-{\frac {{\sqrt {21}}-3}{2}},x={\frac {{\sqrt {21}}+3}{2}}]}
حل کو عددی صورت میں لانے کے لیے
(
%
i
5
)
f
l
o
a
t
(
%
)
;
{\displaystyle (\%i5)float(\%);}
f
l
o
a
t
(
%
)
;
{\displaystyle float(\%);}
(
%
o
5
)
[
x
=
−
.79128784
x
=
3.79128784
]
{\displaystyle (\%o5)[x=-.79128784\,\,\,x=3.79128784]}
جہاں % سے مراد آخری سطر تھی۔ دیکھو ہر ادخال سطر پر
%
i
1
{\displaystyle \%i1}
%
o
1
{\displaystyle \%o1}
f
l
o
a
t
(
%
o
4
)
{\displaystyle \ float(\%o4)}
دالہ کو تعریف کرنے کے لیے ":=" استعمال ہوتا ہے، مثلاً
(
%
i
6
)
f
(
x
)
:=
x
3
−
3
∗
x
+
1
;
{\displaystyle (\%i6)f(x):=x^{3}-3*x+1;}
f
(
x
)
:=
x
3
−
3
∗
x
+
1
;
{\displaystyle f\left(x\right):={x}^{3}-3*x+1;}
(
%
o
6
)
f
(
x
)
:=
x
3
−
3
x
+
1
{\displaystyle (\%o6)f\left(x\right):={x}^{3}-3\,x+1}
متغیر x کی قدر 5 کے لیے فنکشن کی قدر یوں معلوم کی جا سکتی ہے
(
%
i
7
)
f
(
5
)
;
{\displaystyle (\%i7)f(5);}
f
(
5
)
;
{\displaystyle f\left(5\right);}
(
%
o
7
)
111
{\displaystyle (\%o7)111}
فنکشن کا گراف یوں بنایا جا سکتا ہے
فائل:Maxima wxplot2d example.png
w
x
p
l
o
t
2
d
(
f
(
x
)
,
[
x
,
−
2
,
2
]
)
;
{\displaystyle wxplot2d(\,f(x),\,[x,\,-2,\,2]\,);}
متغیر a کی قدر مقرر کرنا ہو، تو
a
:
5
{\displaystyle \ a:5}
دو متواقت مساوات کا حل
s
o
l
v
e
(
[
x
+
8
∗
y
=
6
,
4
∗
x
2
−
2
∗
y
=
1
]
,
[
x
,
y
]
)
;
{\displaystyle solve([x+8*y=6,\,4*x^{2}-2*y=1],\,[x,y]);}
(
%
i
8
)
s
o
l
v
e
(
[
x
+
8
∗
y
=
6
,
4
∗
x
2
−
2
∗
y
=
1
]
,
[
x
,
y
]
)
;
{\displaystyle (\%i8)solve([x+8*y=6,\,4*x^{2}-2*y=1],\,[x,y]);}
(
%
o
8
)
[
[
x
=
−
641
+
1
32
,
y
=
641
+
193
256
]
,
[
x
=
641
−
1
32
,
y
=
−
641
−
193
256
]
]
{\displaystyle (\%o8)[[x=-{\frac {{\sqrt {641}}+1}{32}},y={\frac {{\sqrt {641}}+193}{256}}],[x={\frac {{\sqrt {641}}-1}{32}},y=-{\frac {{\sqrt {641}}-193}{256}}]]}
(
%
i
9
)
i
n
t
e
g
r
a
t
e
(
x
∗
s
i
n
(
a
∗
x
)
,
x
)
;
{\displaystyle (\%i9)integrate(x*sin(a*x),x);}
i
n
t
e
g
r
a
t
e
(
x
∗
s
i
n
(
a
∗
x
)
,
x
)
;
{\displaystyle integrate(x*sin(a*x),x);}
(
%
o
9
)
s
i
n
(
a
x
)
−
a
x
c
o
s
(
a
x
)
a
2
{\displaystyle (\%o9)\,{\frac {sin\left(a\,x\right)-a\,x\,cos\left(a\,x\right)}{{a}^{2}}}}
اگر کسی عبارت کا جواب نکالنا مقصود نہ ہو، صرف تحریر کرنا ہو، تو پہلے
′
{\displaystyle '}
(%i10) 'integrate(sin(x),x،-1,1);
'integrate(sin(x),x،-1,1);
(
%
o
10
)
∫
−
1
1
sin
(
x
)
d
x
{\displaystyle (\%o10)\,\int _{-1}^{1}\sin \left(x\right)dx}
جواب کے لیے
(%i11) integrate(sin(x),x،-1,1);
integrate(sin(x),x،-1,1);
(
%
o
11
)
0
{\displaystyle (\%o11)\,0}
درجہ دوم کی تفریقی مساوات، جہاں مشتق کو
′
d
i
f
f
(
.
,
.
,
,
)
{\displaystyle \ 'diff(.,.,,)}
(
%
i
12
)
2
(
d
2
d
x
2
y
)
+
7
y
=
c
o
s
(
x
)
;
{\displaystyle (\%i12)\,\,2\,\left({\frac {{d}^{2}}{d\,{x}^{2}}}\,y\right)+7\,y=cos\left(x\right);}
v
1
:
2
∗
′
d
i
f
f
(
y
,
x
,
2
)
+
7
∗
y
=
c
o
s
(
x
)
;
{\displaystyle v1:\,2*'diff(y,x,2)+7*y=cos(x);}
بتاؤ کہ y تابع ہے x کے
(
%
i
12
)
[
y
(
x
)
]
;
{\displaystyle (\%i12)[y\left(x\right)];}
d
e
p
e
n
d
s
(
y
,
x
)
{\displaystyle depends(y,x)}
تفریقی مساوات کا حل معلوم کرو
(
%
i
13
)
s
1
:
o
d
e
2
(
v
1
,
y
,
x
)
;
{\displaystyle (\%i13)s1:\,ode2(v1,y,x);}
s
1
:
o
d
e
2
(
v
1
,
y
,
x
)
;
{\displaystyle s1:\,ode2(v1,y,x);}
(
%
o
13
)
y
=
%
k
1
s
i
n
(
14
x
2
)
+
%
k
2
c
o
s
(
14
x
2
)
+
c
o
s
(
x
)
5
{\displaystyle (\%o13)\,y=\%k1\,sin\left({\frac {{\sqrt {14}}\,x}{2}}\right)+\%k2\,cos\left({\frac {{\sqrt {14}}\,x}{2}}\right)+{\frac {cos\left(x\right)}{5}}}
حل میں k1 اور k2 نامعلوم دائم ہیں، جو احاطہ حالت (boundary conditions) بتانے سے معلوم کیے جا سکتے ہیں
(
%
i
14
)
b
c
2
(
s
1
,
x
=
0
,
y
=
0
,
x
=
1
,
y
=
−
1
)
;
{\displaystyle (\%i14)bc2(s1,x=0,y=0,x=1,y=-1);}
bc2(s1,x=0,y=0,x=1,y=-1);
(
%
o
14
)
y
=
(
c
o
s
(
14
2
)
−
c
o
s
(
1
)
−
5
)
s
i
n
(
14
x
2
)
5
s
i
n
(
14
2
)
−
c
o
s
(
14
x
2
)
5
+
c
o
s
(
x
)
5
{\displaystyle (\%o14)\,y={\frac {\left(cos\left({\frac {\sqrt {14}}{2}}\right)-cos\left(1\right)-5\right)\,sin\left({\frac {{\sqrt {14}}\,x}{2}}\right)}{5\,sin\left({\frac {\sqrt {14}}{2}}\right)}}-{\frac {cos\left({\frac {{\sqrt {14}}\,x}{2}}\right)}{5}}+{\frac {cos\left(x\right)}{5}}}
حل کی دائیں ہاتھ طرف (rhs) کا گراف بنایا جا سکتا ہے
plot2d(rhs(%),[x,-10,10]);
مکسما - کمپیوٹر الجبرا نظام MAXIMA - a computer algebra system
![{\displaystyle (\%o4)[x=-{\frac {{\sqrt {21}}-3}{2}},x={\frac {{\sqrt {21}}+3}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93382e8d84bf113407e65b2a207de3575c692cff)
![{\displaystyle (\%o5)[x=-.79128784\,\,\,x=3.79128784]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c30f8f50f388f4ed48ac49d6386923bbfaac2d4)
![{\displaystyle wxplot2d(\,f(x),\,[x,\,-2,\,2]\,);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3148dc07dbb164b953e48b78a406dd6b35bc633)
![{\displaystyle solve([x+8*y=6,\,4*x^{2}-2*y=1],\,[x,y]);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3beaa52b3d18f82b1f0b3c9002c3f3a093bb62)
![{\displaystyle (\%i8)solve([x+8*y=6,\,4*x^{2}-2*y=1],\,[x,y]);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f4376f6b5d90d66d52456e2e31ca47d71c33a4)
![{\displaystyle (\%o8)[[x=-{\frac {{\sqrt {641}}+1}{32}},y={\frac {{\sqrt {641}}+193}{256}}],[x={\frac {{\sqrt {641}}-1}{32}},y=-{\frac {{\sqrt {641}}-193}{256}}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01d429bb75f7393037472747e9839f7edb1b6bd)
![{\displaystyle (\%i12)[y\left(x\right)];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace5a755a51a9b6c1e99d208eb84135da3861e3b)
