تکامل

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
A definite integral of a function can be represented as the signed area of the region bounded by its graph.
Topics in Calculus

Fundamental theorem
Limits of functions
Continuity
Mean value theorem

تکامل ریاضیات میں ایک اہم تصور ہے جو تفرقی کے ہمراہ حسابان میں ایک اکبر عالج ہے۔ حقیقی متغیر کی دالہ f اور حقیقی لکیر پر وقفہ \ [a,b] دیا ہو، تو واضح تکامل

\int_a^b f(x)\,dx \, ,

غیر رسمی طور پر xy-مسطح میں وہ مثبت/منفی نشانذدہ باقیماندہ علاقے کا رقبہ ہے جو دالہ f کے مخطط اور عمودی لکایر x = a اور x = b کے درمیان ہے۔

اصطلاح term

واضح
غیرواضح
قابلِ تکامل
متکامل
ساحہ
اخرس
صغاریہ
تفریقیے

definite
indefinite
integrable
integrand
domain
dummy
infinitesimal
differentials

تکامل کی اصطلاح سے مراد مشتق شکن F بھی ہو سکتا ہے جس کا مشتق دی گئی دالہ f ہے۔ اس صورت میں اسے غیرواضح تکامل کہتے ہیں، جبکہ یہاں ہم واضح تکامل پر بحث کریں گے۔ کچھ لکھاری غیرواضح تکامل اور مشتق‌شکن میں تمیز کرتے ہیں۔

تکامل کے اصول 17ویں صدی کے آخر میں لائبنز اور نیوٹن نے علیحدہ اپنے طور پر کلیات کیے تھے۔ قضیہ بنیادی حسابان کے ذریعہ تکامل کا جوڑ تفرقی سے بنتا ہے: اگر f ایک استمری حقیقی-قدری دالہ ہو جو بند وقفہ [ab] پر تعریف شدہ ہو، تو جیسے ہی f کا مشتق‌شکن F معلوم ہو گا، دالہ f کا اس وقفہ پر تکامل یوں دیا جائے گا:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,

تکامل اور مشتق آساسی اوزار بن گئے ہیں حسابان کے، اور ان کی سائنس اور ہندسہ میں لاتعداد اطلاقیات ہیں۔ تکامل کی بامشقت ریاضیاتی تعریف ریمان نے دی۔ یہ ایک حدی طریقہ ہے جس میں منحنی لکیری علاقہ کا رقبہ تقرب کیا جاتا ہے، علاقے کو پتلی عمودی سِلوں میں توڑ کر۔ انیسویں صدی میں تکامل کے زیادہ ثقیف تصورات ظاہر ہونا شروع ہوئے، جہاں دالہ کی قسم اور جس ساحہ پر تکامل انجام دیا جائے کو جامع بنایا گیا۔ ایک لکیری تکامل دو یا تین متغیروں کی دالہ کے لیے تعریف کیا جاتا ہے، اور تکامل کے وقفہ [ab] کو مسطح یا فضاء میں دو نقطوں کو جوڑنے والی کسی خاص منحنی سے بدل دیا جاتا یے۔ سطح تکامل میں منحنی کی جگہ سہ العباد فضاء میں سطح کا ٹکرا بدیل کر دیا جاتا ہے۔ تفرقی ہئیتوں کے تکامل تفرقی ہندسیہ میں بنیادی کردار کھیلتے ہیں۔ یہ جامع شکلیں پہلے طبیعیات کی ضرورتیں پوری کرنے کے لیے اُبھریں، اور یہ کئی طبیعیاتی قوانین کی کلیات میں اہم کردار ادا کرتے ہیں، نمایاںً برقی حرکیات میں۔ تکامل کے کئی جدید تصورات ہیں۔ ان میں سب سے عام تکامل کا تصور تجریدی ریاضیاتی نظریہ پر اساس ہے جسے لابیگ تکامل کہتے ہیں، اور جسے ہنری لابیگ نے ترقیآیا۔

تاریخ[ترمیم]

پیش حسابان تکامل[ترمیم]

تکامل کو قدیم مصر تک (قریبا 1800 قبل مسیح) تلاش کیا جا سکتا ہے۔ ماسکو ریاضی البَردی سے معلوم ہوتا ہے کہ ان کو اہرام کے حجم کا کلیہ کا علم تھا۔ سب سے پہلا نظامیاتی طریقہ رقبہ اور حجم نکالنے کے لیے شکلوں کو لامتناہی تعداد میں ایسے ٹکروں میں توڑنا تھا جن کا رقبہ یا حجم معلوم ہوتا۔ اسطرح کے طریقے یونانیوں اور چینیوں کو معلوم تھے۔[1]

اس کے بعد اکبر قدم عراق میں 11 ویں صدی کےاسلامی ریاضیدان ابن الحیثم نے اپنی کتاب کتابِ بصریات میں اٹھایا، جو اب الحیثم مسئلہ کہلاتا ہے، جس میں درجہ چار کی مساوات بنتی ہے۔ اس مسئلہ کے حل کے دوران، اس نے تکامل انجام دیا تاکہ مکافی مجسم کا حجم نکال سکے۔ ریاضیاتی تحریض کے استعمال سے اس نے چوتھے درجہ تک کے کثیر رقمی کے تکامل کا کلیہ اخذ کیا۔[2] چونکہ وہ بصریات کی کتاب لکھ رہا تھا، نہ کہ ریاضی کی، اس لیے اس نے 4 سے زیادہ درجہ کے کثیر رقمی کا جامع نتیجہ تحریر نہیں کیا، جس سے بعض مورخین کو غلط فہمی ہوئی کہ الحیثم کو یہ نتیجہ معلوم نہ تھا۔

اگلی اہم پیش رفت 16ویں صدی میں ہوئی۔ کیوالیری نے method of indivisibles|لاتقیسمً کے طریقہ سے اور فرمے نے جدید حسابان کی بنیاد رکھنا شروع کی۔ 17ویں صدی میں بیرو اور تورسلی نے تکامل اور تفرق کے درمیان اتصال کی طرف اشارے کیے۔

لائبنز اور نیوٹن[ترمیم]

اگلی اہم پیش رفت 17ویں صدی میں لائبنز اور نیوٹن نے حسابان کا بنیادی قضیہ دریافت کر کے کی۔ یہ قضیہ تکامل اور تفرق کے درمیان اتصال بیان کرتا ہے۔ یہ اتصال، اور نسبتاً آسان تفرق کے طرائق، کا استحصال کر کے تکامل کی حسابگری کی جا سکتی ہے۔ خاصاً یہ قضیہ ہمیں مسائل کی بہت وسیع جماعت کو حل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ اس کے علاوہ ان اصحاب نے جامع ڈھانچہ ترقیایا۔ اس کو صغاریہ حسابان کا نام دیا گیا، جس سے دالہ اور استمری ساحہ کا قطعی تحلیل ممکن ہوا۔ یہ ڈھانچہ آخرکار جدید حسابان بن گیا، اور تکامل کی علامت لائبنز کے کام سے لی گئی ہے۔

اصطلاحیات اور علامات[ترمیم]

اگر کسی دالہ کا تکامل ہو، تو دالہ کو قابلِ تکامل ہے۔ جس دالہ کے لیے تکامل شمارندہ کیا جائے اس دالہ کو متکامل کہتے ہیں۔ جس علاقہ پر دالہ کا تکامل کیا جائے اس علاقہ کو تکامل کا ساحہ کہتے ہیں۔ اگر تکامل کا ساحہ نہ دیا گیا ہو، تو اسے غیرواضح تکامل کہتے ہیں (جس کا ساحہ ہو اسے واضح تکامل سمجھو)۔ جامع طور پر متکامل ایک سے زیادہ متغیروں کا دالہ ہو سکتا ہے، اور تکامل کا ساحہ رقبہ، حجم، یا بالا بُعد علاقہ بھی ہو سکتا ہے اور کو تجریدی فضاء بھی جس کی عام معنوں میں کوئی ہندسیاتی ساخت نہ ہو۔

سادہ ترین صورت، ایک حقیقی متغیر x کی حقیقی-قدر دالہ f، وقفہ [a, b] پر، یوں تعبیر کی جاتی ہے

\int_a^b f(x)\,dx

نشان ∫ نمائندگی کرتا ہے تکامل کی؛ a زیریں حد ہے اور b بالائی حد تکامل کی؛ دالہ f متکامل ہے، جس کی تقویم کرنا ہے جب x وقفہ [a, b] پر تبدیل ہوتا ہے؛ اور dx تکامل کا متغیر ہے۔ صحیح ریاضیاتی علامت میں متکامل اور dx کے درمیان وقفہ ڈالا جاتا ہے (جیسا کہ دکھایا گیا ہے)۔

نظریہ کے مطابق تکامل کے متغیر dx کی تفسیر مختلف ہوتی ہے۔ مثلاً، اس کو سمجھا جا سکتا ہے محض علامت جس سے مراد ہےx تکامل کا اخرس متغیر ہے، ریمان حاصل جمع میں وزون کا عکس، ناپ (لابیگ تکامل میں)، صغاریہ (غیر-معیاری تحلیل میں) یا آزاد ریاضیاتی مقدار: تفرقی ہئیت۔

تعارف[ترمیم]

تکامل کئی ممارسی صورت حالوں میں ظاہر ہوتا ہے۔ ایک تالاب کو دیکھو۔ اگر یہ مستطیل ہے، تو اس کی لمبائی، چوڑائی، اور گہرائی سے اس کو پوار بھرنے کے لیے درکار پانی کا حجم جبر کیا جا سکتا ہے، اس کی سطح کا رقبہ نکالا جا سکتا ہے (اس کو ڈھانپنے کے لیے)، اور اس کے کناروں کی لمبائی (اس کے گرد رسی لگانے کے لیے)۔ مگر اگر یہ بیضوی ہو گولی پیندے کے ساتھ، تو ان تمام مقداروں کے لیے تکامل کو پکارنا پڑے گا۔ ہو سکتا ہے کہ ممارسی تقرب کافی ہو، مگر قطعی ہندسیہ کے لیے ان عناصر کی صحیح اور بامشقت اقدار چاہیے ہوتی ہیں۔


Approximations to integral of √x from 0 to 1, with  5 right samples (above) and  12 left samples (below)

شروع کرنے کے لیے، اس منحنی y = f(x) کو دیکھو جو x = 0 اور x = 1 کے درمیان ہے، اور فرض کرو کہ f(x) = √x ہے۔

دالہ f کے نیچے کتنا رقبہ ہے، 0 سے 1 تک وقفہ میں؟

اور اس (ابھی نامعلوم) رقبہ کو f کا تکامل کہو۔ اس تکامل کی علامت یہ ہو گی

 \int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.

پہلے تقرب کے طور پر اکائی مربع پر نظر ڈالو جس کی اطراف x = 0 سے x = 1 تک، اور y = f(0) = 0 سے y = f(1) = 1 تک ہیں۔ اس کا مربع قطعی 1 ہے۔ تکامل کی سچی قدر اس سے کچھ کم ہوگی۔ تقربی مستطیلوں کی چوڑائی کم کر کے بہتر نتیجہ دے گا؛ تو وقفہ کو پانچ قدموں میں طے کرو، تقربی نقطے 0، 15، 25، اور اس طرح 1 تک۔ ہر قدم پر ایک ڈبہ بٹھاؤ جس کی اونچائی منحنی کا دائیں والا کونا ہو، چنانچہ 25، 15، اور اسطرح √1 = 1 تک۔ ان مستطیلوں کے رقبہ کو جمع کر کے، ہمیں تکامل کا بہتر تقرب ملتا ہے، ناماً

\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0.7497.\,\!

غور کرو کہ ہم متناہی تعداد میں f کی اقدار بہ ضرب "اگلے دو تقربی نقطوں کا فرق" کا حاصل جمع لے رہے ہیں۔ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ تقرب اب بھی کافی زیادہ ہے۔ زیادہ قدم استعمال کر کے تقرب بہتر ہو گی مگر قطعی نہیں ہو گی: پانچ قدموں کو بارہ سے بدل کر ہمیں رقبہ تقرب 0.6203 ملتا ہے جو بہت کم ہے۔ کلیدی خیال یہ ہے کہ تقرب کے متناہی فرق ضرب متعلقہ دالہ اقدار سے لامتناہی باریک کی طرف جایا جائے، یا صغاریہ قدم۔

تکامل کی حقیقی حسابگری کے لیے حسابان کا بنیادی قضیہ استعمال ہوتا ہے، جو تفرقی اور تکامل کے درمیان بنیادی ربط ہے۔ مربع جذر دالہ f(x) = x1/2 پر اطلاق کے لیے یہ کہتا ہے کہ اس کا مشتق شکن F(x) = 23x3/2 لو، اور سادہ F(1) − F(0)=2/3 تکامل کے جواب کے طور پر لے لو، جہاں 0 اور 1 تکامل کے وقفہ [0,1] کی سرحدیں ہیں۔ منحنی کے نیچے قطعی رقبہ یوں رسمی طور پر شمارندہ کیا جاتا ہے:

 \int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = \int_0^1 d \left( \frac {x^{\frac{3}{2}}} {\frac 3 2}\right) = \int_0^1 d \left({\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}}\right) =  \left . {\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}} \right  |_0^1 = {\textstyle \frac 2 3}

علامت (لمبا s جس سے مراد انگریزی 'sum' لفظ ہے)

 \int f(x) \, dx \,\!

تکامل کو بطور وزونی حاصل جمع بھانپتی ہے، دالہ f(x) کی اقدار، بضرب صغاریہ قدم چوڑائی جسے تفریقیے کہتے ہیں، اور dx کی علامت سے لکھتے ہیں۔ ضرب کی علامت نہیں لکھی جاتی۔

تکامل کی تعریف کو بامشقت بنانے کے لیے ریمان نے اسے بطور وزونی حاصل جمع کی حد تعریف کیا، اسطرح dx سے مراد فرق (قدم کی چوڑائی) کی حد ہے۔

اصطلاح term

تتمہ
متوالیہ
بٹوارہ

tag
sequence
partition

رسمی تعاریف[ترمیم]

تکامل کی رسمی تعریف کے کئی طرائق ہیں، جو سب مطابقت نہیں۔ کچھ خاص صورتیں ایک تعریف کے تحت قابل تکامل ہوں مگر دوسری کے نہیں۔ عام استعمال کی تعاریف ریمان تکامل اور لابیگ تکامل ہیں۔

ریمان تکامل[ترمیم]

ریمان تکامل کو دالہ کے رحمان حاصل جمع بلحاظ وقفہ کے تتمہ-ائی بٹوارہ کے معنوں میں تعریف کیا حاتا ہے۔ چلو [a,b] حقیقی لکیر کا بند وقفہ ہو؛ پھر اس وقفہ [a,b] کا تتمہ-ائی بٹوارہ ایک متناہی متوالیہ ہے

 a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!
Integral approached as Riemann sum based on tagged partition, with irregular sampling positions and widths (max in red). True value is 3.76; estimate is 3.648.
Riemann sums converging as intervals halve, whether sampled at  right,  minimum,  maximum, or  left.

اس وقفہ [a,b] کو n ذیلی-وقفوں [xi−1, xi] میں تقسیم کرتا ہے جن کی فہرست i سے ظاہر کی گئی ہے، اور ان میں سے ہر کو ایک ممتاز نقطہ ti ∈ [xi−1, xi] سے 'تتمہ' کیا گیا ہے۔ دالہ f کا ریمان حاصل‌جمع بلحاظ تمتہ بٹوارہ یوں تعریف ہوتا ہے:

\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ;

چنانچہ حاصل جمع کی ہر اصطلاح رقبہ ہے مستطیل کا جس کی اُونچائی دالہ کی ممتاز نقطہ پر قدر کے برابر ہے، اور چوڑائی اس ذیلی-وقفہ کی چوڑائی ہے۔ چلو Δi = xixi−1 ذیلی-وقفہ i کی چوڑائی ہو؛ اس تتمہ بٹوارہ کا شیکہ ان میں سے سب سے چوڑے ذیلی-وقفہ کی چوڑائی ہے، maxi=1…n Δi ۔ دالہ f کا وقفہ [a,b] پر ریمان تکامل برابر ہے S کے اگر

تمام ε > 0 کے لیے ایسا δ > 0 وجود رکھتا ہو کہ، وقفہ [a,b] کے کسی بھی تتمہ بٹوارہ جس کا شیکہ δ سے کم ہو، ہمارے پاس ہو
\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \epsilon.

خواص[ترمیم]

لکیری[ترمیم]

  • بند وقفہ [a, b] پر قابلِ ریمان تکامل دالہ‌ات کا مجموعہ سمتیہ فضا بناتا ہے، عالجہ‌ات نقطہ وار جمع اور عددیہ سے ضرب کے تحت۔ تکامل کے عالجہ کے تحت
 f \mapsto \int_a^b f \; dx

لکیری دالہرا ہے اس سمتیہ فضاء پر۔ چنانچہ، اول، قابلِ تکامل دالہات کا مجموعہ بند ہے لکیری تولیف کے تحت؛ اور، دوم، لکیری تولیف کا تکامل لکیری تولیف ہے تکاملات کا،

 \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,

تکامل کے لیے نامساوات[ترمیم]

بند اور محیط وقفہ [a, b] پر قابلِ ریمان تکامل دالہ‌ات کے لیے متعدد نامساوات تھامتی ہیں۔

  • بالا اور زیریں حدود۔ وقفہ [a, b] پر قابلِ تکامل دالہ لازماً اس وقفہ پر محدود ہو گی۔ چنانچہ حقیقی اعداد m اور M ہونگے تانکہ mf (x) ≤ M تمام x \in [a,b] کے لیے۔ چونکہ وقفہ [a, b] پر f کے نچلے اور اوپرلے حاصل جمع بالترتیب m(ba) اور M(ba) سے محدود ہونگے، اس سے یہ معلوم ہوتا ہے کہ
 m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a).
  • دالہ‌ات کے درمیان نامساوات۔ اگر وقفہ [a, b] میں تمام x کے لیے f(x) ≤ g(x) ہو، تو دالہ f کا اوپرلا اور نچلا حاصل جمع کم ہو گا بلترتیب g کے اوپرلے اور نچلے حاصل جمع سے، چنانچہ
 \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx.
  • ذیلی وقفے۔ اگر [c, d] ذیلی وقفہ ہو وقفہ [a, b] کا اور f(x) غیر-منفی ہو تمام x کے لیے، تو
 \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx.

 (fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,

اگر f وقفہ [a, b] پر قابلِ ریمان تکامل ہو تو یہ |f| کے لیے بھی سچ ہو گا، اور:

\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx.

علاوہ ازیں، اگر f اور g دونوں قابلِ ریمان تکامل ہوں تو g 2، f 2، اور fg بھی قابلِ ریمان تکامل ہونگے، اور

\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right).
یہ نامساوات، جسے کاشی شوارز نامساوات کہے ہیں، نظریہ ہلبرٹ فضاء میں اہم کردار ادا کرتی ہے، چہاں بائیں ہاتھ طرف کی وقفہ [a, b] پر دو مربع-قابلِ تکامل دالہ‌ات f اور g کے اندرونی حاصل ضرب کے طور پر تشریح کی جاتی ہے۔
  • منکاؤسکی نامساوات۔ فرض کرو کہ p ≥ 1 حقیقی عدد ہے، اور f اور g قابلِ ریمان تکامل دالہ ہیں۔ تو پھر |g|p، |f|p، اور |f + g|pبھی قابلِ ریمان تکامل ہونگے، اور درجِ ذیل منکاوسکی نامساوات ٹھیرے گی:
\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.

رواج[ترمیم]

اس قطعہ میں f حقیقی عدد-قدر قابلِ ریمان تکامل دالہ ہے۔ وقفہ [a, b] پر تکامل

 \int_a^b f(x) \, dx

متعرف ہے اگر a < b ہو۔ اس کا مطلب ہے کہ f کے اوپرلے اور نچلے حاصل جمع بٹوارہ a = x0x1 ≤ . . . ≤ xn = b جس کی اقدار xi بڑھ رہی ہیں، پر تقویم کیے جاتے ہیں۔ ہندساتی معنی یہ کہ تکامل "بائیں سے دائیں" چلتا ہے، وقفات [xi , xi +1] پر f کی تقویم کی جاتی ہے جہاں فہرست میں بڑا وقفہ فہرست میں چھوٹے وقفہ کے دائیں طرف پڑا ہوتا ہے۔ وقفہ کے کنارے a اور b کو f کی تکامل کی حدیں کہا جاتا ہے۔ اگر a > b ہو پھر بھی تکامل تعریف کیا جا سکتا ہے:

  • تکامل کی حدوں کو پلٹنا۔ اگر a > b ہو تو تعریف کرو
\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx.

اگر a=b ہو تو یہ متقاضی کرتا ہے

  • صفر لمبائی کے وقفہ پر تکامل۔ اگر a حقیقی عدد ہو تو
\int_a^a f(x) \, dx = 0.
  • تکامل کے وقفات کی جمعائی۔ اگر وقفہ [a, b] کا عُنصر c ہو، تو
 \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.


  1. ^ Shea, Marilyn (May 2007), Biography of Zu Chongzhi, University of Maine, http://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html, retrieved 9 January 2009 
    Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, pp. 125–126, ISBN 978-0-321-16193-2 
  2. ^ Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–174 [165–9 & 173–4]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات