نظریہ زمرہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
ایک زمرہ جس میں اشیاء Z، Y، Xہیں اور تجسم g ، f
اصطلاح term

زمرہ
شئے/ اشیاء
تجسیم ؟
رسمہ
تیر
دالہ
دالہرا ؟
استحالہ

category
object(s)
morphism
diagram
arrow
function
functional
transformation

ریاضیات میں، نظریہ زمرہ تجریدی راہ سے ریاضیاتی ساختوں سے معاملہ کرتا ہے، اور ان کے درمیان نسبتوں سے: یہ طاقم اور دالہ سے تجرید کرتا ہے اشیاء جو رسمہ میں تیروں یا تجسیم سے ربط ہوتے ہیں۔

زمرہ کی سادہ ترین مثال (جو وضعیت میں بہت اہم تصور ہے) گروہیہ کی ہے، جو کہ تعریف کیا جاتا ہے ایسا زمرہ جس کے تیر یا تجسم تمام مقلوب ہوں۔ زمرات اب ریاضی کی تمام شاخوں میں نظر آتے ہیں، شمارندی سائنس کے کچھ علاقوں میں جہاں یہ قسموں سے ارتباط رکھتے ہیں، اور ریاضیاتی طبیعیات جہاں یہ سمتیہ فضا کو بیان کرتے ہیں۔ زمرات کا تعارف پہلی مرتبہ سیموئل ایلنبرگ اور سانڈرز ماک لین نے 1942-45 میں الجبرائی وضعیت کے اتصالی میں کرایا تھا۔

نظریہ زمرہ کے کئی چہرے ہیں جو صرف ماہرین کو نہیں بلکہ دوسرے ریاضیدانوں کو معلوم ہیں۔ 1940 کی دہائی سے ایک اصطلاح تجریدی بکواس ارفع درجے کی تجرید کی طرف حوالہ دیتی ہے، ریاضی کی دوسری شاخوں کے موازنہ میں۔ تجریدی الجبرا کی تنظیم اور کاریگری کے تجویز کرنے میں متماثلی الجبرا زمرہ نظریہ ہے۔ تیروں سے جڑے رسمہ کی بصری طریقہ سے بحث رسمہ تعاقب کہلاتا ہے۔ خیال رہے کہ زمرات کے درمیان تیروں کو دالہرا کہتے ہیں جو خاص مبدلی شرائط پوری کرتے ہیں؛ اس کے علاوہ، زمرہ رسمہ اور متوالیہ کو بطور دالہرا تعریف کیا جا سکتا ہے۔ دو دالہرا کے درمیان تیر ایک قدرتی استحالہ ہے ماتحت خاص قدرتی یا مبدلی شرائط کے۔ دالہرا اور قدرتی استحالہ دونوں نظریہ زمرہ میں کلیدی تصور ہیں، یا نظریہ زمرہ کے حقیقی محرکیہ۔ مشہور ریاضیدان جس نے نظریہ زمرہ کی بنیاد رکھی، کے الفاظ میں: 'زمرات کو متعارف کرایا گیا دالہرا کو تعریف کرنے کے لیے، اور دالہرا کو متعارف کرایا گیا قدرتی استحالہ کو تعریف کرنے کے لیے'۔


زمرات، اشیاء، اور تجسیم[ترمیم]

ایک زمرہ C درج ذیل تین ریاضیاتی ہستیوں پر مشتمل ہوتا ہے:

  • ایک جماعت ob(C)، جس کے عناصر کو اشیاء کہے ہیں۔
  • ایک جماعت hom(C)، جس کے عناصر کو تجسیم یا نقش یا تِیر کہے ہیں۔ ہر تجسیم f کا ایک منفرد ماخذ شئے a اور ہدف شئے b ہوتا ہے۔ ہم f: ab لکھے ہیں، اور کہے ہیں کہ تجسیم f، شئے a کو شئے b میں لے جاتا ہے۔ ہم hom(a, b) لکھے ہیں اور اس سے مراد تجسیم-جماعت ہے، یعنی a کو b میں لے جانے والے تمام تجسیم۔
  • ایک ثنائی عالج \circ، جسے تجسیم ترکیب کہے ہیں، اسطرح کہ کسی بھی تین اشیاء a، b، اور c ، کے لیے، ہمارے پاس hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) ہو۔ تجاسیم f: ab اور g: bc کی ترکیب کو g\circ f یا gf لکھا جائے ہے، ماتحت ذیل کے دو مسلمات کے:
  • مشارکی: اگر f: ab اور g: bc اور h: cd ہو، تو h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f، اور
  • شناخت: ہر شئے x کے لیے، ایک تجسیم 1x : xx وجود رکھتا ہے جسے x لے لیے شناخت تجسیم کہے ہیں، اسطرح کہ ہر تجسم f: ab کے لیے، ہمارے پاس {\rm 1}_b\circ f=f=f\circ{\rm 1}_a ہو۔

ان مسلمات سے مثبوت کیا جا سکتا ہے کہ ہر شئے کہ لیے صرف یاک شناخت تجسیم ہوتا ہے۔ تجاسیم (جیسا کہ fg = h) کے درمیان نسبتوں کی اکثر مشرکی رسموں سے خاکہ کشی کی جاتی ہے، جہاں اشیاء کو نقطوں (کونے) سے نمائندہ کیا جاتا ہے اور تجاسیم کو تِیروں سے۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات