مثلثیات

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
زاویہ θ کی تمام مثلثیاتی دالہ‌ات کی ہندساتی تعمیر کی جا سکتی ہے ایکائی دائرہ، جس کا مرکز 0 پر ہے، کے ضمن میں۔
عالمی فضا اڈہ پر روبالہ کاریگر Canadarm2 کا عالجہ اس کے جوڑوں کے زاویہ‌ات کے تظبیط سے کیا جاتا ہے۔ اس کاریگر بازو کے سرے پر خلانورد کے حتمی مقام کی حسابگری کے لیے بالتواتر ان زاویہ‌ات کی مثلثیاتی دالہ‌ات کا استعمال درکار ہوتا ہے۔

مثلثیات ( یونانی trigōnon مثلث + metron ناپ)[1] شاخ ہے ریاضیات کی جو مثلث، خاصاً قائم الزاویہ مثلث، کا مطالعہ کرتا ہے۔ مثلثیات معاملہ کرتی ہے مثلث کے اطراف اور زاویہ میں رشتہ کے، اور مثلثیاتی دالہ سے جو یہ رشتہ بیان کرتے ہیں، اور زاویہ‌ات کا جامع بیان بھی، اور موجوں کی حرکت جیسا کہ آواز اور روشنی موجیں۔

مثلثیات عموماً ثانوی مدارس میں پڑھایا جاتا ہے، علیحدہ نصاب کے طور پر یا پیش حسابان نصاب میں۔ اس کے اطلاقیات خالص ریاضیات اور اطلاقی ریاضیات میں ہیں، جہاں یہ سائنس اور طرزیات کی بہت سی شاخوں میں لازم ہے۔ مثلثیات کی ایک شاخ، جسے کُرّہای مثلثیات کہے ہیں، کُرّہ پر مثلث کا مطالعہ کرتی ہے، جو فلکیات اور جہازرانی میں اہم ہے۔

تاریخ[ترمیم]

قدیم مصر اور بابُل میں زاویہ ناپ کا تصور مظبوط نہیں تھا، مگر انھوں نے مثلث کی اطراف کے تناسب کا مطالعہ کیا۔ یونانی ریاضیدانوں نے ہندسہ کے تناظر میں زاویہ کے وتر کے خاصوں کا مطالعہ کیا۔ قدیم چین میں بھی مثلثیات کا ابتدائی مطالعہ کیا گیا۔ دسویں صدی کے عرب ریاضیدانوں نے ان مثلثیاتی دالوں کو الجبرائی شکل دی اور چھ کے چھ مثلثیاتی دالہ کا استعمال کیا، ان کی اقدار کے جدول تیار کیے، اور انھیں کُرّہ ی مثلثیات میں اطلاق کیا۔ عرب اور فارس ماہر فلکیات، جیسا کہ جابر بن سنان البتانی اور الطوسی[2]، کی کتب کے لاطینی ترجموں کے ذریعہ مثلثیات کا علم یورپ منتقل ہوا۔ پھر بھی سولیوں صدی تک یورپ میں مثلثیات کا علم محدود لوگوں کو معلوم تھا۔

جائزہ[ترمیم]

اس قائم مثلث میں:: sin A = a/c ; cos A = b/c ; tan A = a/b

اگر کسی مثلث کا ایک زاویہ 90 درجے ہو اور دوسرا معلوم ہو، تو تیسرا مقرر ہو جاتا ہے، کیونکہ مثلث کے تینوں زاویوں کا حاصل جمع 180 درجے ہوتا ہے۔ دونوں حادہ زاویہ اس لیے جمع ہو کر 90 درجے بناتے ہیں؛ یہ تکمیلی زاویے ہیں۔ قائم مثلث کی صورت جبر ہو جاتی ہے اس کے دوسرے دونوں زاویوں سے، مشابہت کی حد تک۔ اس کا مطلب ہے کہ جیسے ہی دو میں سے ایک زاویہ معلوم ہو، مختلف اضلاع کا تناسب ایک ہی ہو گا چاہے مثلث کی مجموعی جسامت کچھ بھی ہو۔ یہ تناسب معلوم زاویہ A کی درج ذیل مثلثیاتی دالہ سے دی جاتی ہے، جہاں a، b ، اور c سے مراد ساتھ دی شکل میں تین اضلاع کی لمبائیاں ہیں:

اصطلاح term

ضلع
مقابل
ملمس
وتر
قائم الزاویہ
جیب
جیب التمام
مماسی
قاطع
قاطع التمام

side
opposite
adjacent
hypotenuse
right-angled
sine
cosine
tangent
secant
cosecant


  • جیب sine دالہ (sin)، تعریف ہوتی ہے زاویہ کے مقابل ٹانگ کا وتر سے تناسب
\sin A=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{a}{\,c\,}\,
  • جیب التمام cosine دالہ (cos) ، تعریف ہوتی ہے زاویہ کے ملمس ٹانگ کا وتر سے تناسب
\cos A=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{b}{\,c\,}\,
  • مماسی tangent دالہ (tan)، تعریف ہوتی ہے زاویہ کے مقابل ٹانگ کا مماس ٹانگ سے تناسب
\tan A=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{adjacent}}=\frac{a}{\,b\,}=\frac{\sin A}{\cos A}\,


قائم مثلث میں وتر وہ ضلع ہے جو 90 درجہ زاویہ کے مقابل ہوتا ہے؛ مثلث کا سب سے لمبا ضلع ہوتا ہے، اور زاویہ A کے ملمس دو اضلاع میں سے ایک۔ ملمس ٹانگ دوسرا ضلع ہے جو زاویہ A کے ملمس ہے۔ مقابل ضلع وہ ہے جو زاویہ A کے مقابل ہے۔ اصطلاحات قائم اور اساس بالترتیب کبھی مقابل اور ملمس اضلاع کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔

ان دالہ کے ریاضیاتی اُلٹ کو بالترتیب قاطع التمامcosecant یا (cosec) یا (csc) ,قاطع secant یا (sec)، اور مماسی التمام cotangent یا (cot) کہتے ہیں۔ ان دالہ کی مقلوب دالہ کو بلترتیب آرک جیب arcsine، آرک جیب التمام arccosine، اور آرک مماسی arctangent، کہتے ہیں۔ ان دالہ‌ات کے درمیان حسابی رشتوں کو مثلثیاتی شناختیں کہتے ہیں۔

ان دالہ‌ات کی مدد سے جیب قانون اور جیب التمام قانون استعمال کرتے ہوئے ہم تعسُّفی مثلث بارے مجازی تمام سوالوں کا جواب دے سکتے ہیں۔ ان قوانین کی مدد سے ہم مثلث کی باقی ماندہ زاویوں اور اضلاع شمارندہ کر سکتے ہیں جیسے ہی دو اضلاع اور ایک زاویہ معلوم ہو، یا دو زاویے اور ایک ضلع معلوم ہو، یا تینوں اضلاع معلوم ہوں۔ یہ قوانین ہندسہ کی تمام شاخوں میں مفید ہیں، چونکہ کسی بھی کثیر الاضلاع کو مثلثات کا متناہی تولیف بیان کیا جا سکتا ہے۔


مثلثیات یا تکونیات (trigonometry)، ریاضیات کی ایک شاخ جس میں مثلثات کا مطالعہ کیا جاتا ہے.

حوالہ جات[ترمیم]


  1. ^ "trigonometry". Online Etymology Dictionary. http://www.etymonline.com/index.php?search=trigonometry. 
  2. ^ Boyer p237, p274

مزید دیکھئے[ترمیم]